Đề bài
Một xe ô tô chở khách du lịch có sức chứa tối đa 16 hành khách. Trong một khu du lịch, một đoàn khách gồm 24 người đang đi bộ và muốn thuê xe về khách sạn. Lái xe đưa ra thỏa thuận với đoàn khách du lịch như sau: Nếu một chuyến xe chở $x$ (người) thì giá tiền cho mỗi người là $\dfrac{\left( {44 - x} \right)^{2}}{2}$ (nghìn đồng). Với thỏa thuận như trên thì lái xe có thể thu được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng từ một chuyến chở khách (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phương pháp giải
+ Gọi $f(x)$ là số tiền mà lái xe thu được khi chở $x$ người, đặt điều kiện của $x$.
+ Tìm hàm $f(x)$, biết rằng số tiền 1 chuyến đi = giá tiền một người . số người trên xe.
+ Tìm giá trị lớn nhất của $f(x)$, với điều kiện của $x$ và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi $f(x)$ là số tiền mà lái xe thu được khi chở $x$ người $\left( x\in \mathbb{N}*,\,x\le 16 \right)$ trong chuyến xe đó. Khi đó, $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}x{{\left( 44-x \right)}^{2}}$ (nghìn đồng).
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $f(x)$ vơi $0<x\le 16$.
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( 3{{x}^{2}}-176x+1\ 936 \right)$, $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow $ $x = \dfrac{44}{3}$ hoặc $x = 44$.
Ta có bảng biến thiên:
Vì x là số tự nhiên và theo bảng biến thiên ta có, người lái xe có thể thu được nhiều nhất là khoảng 6,31 triệu đồng.
Cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản:
Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số $Q=Q\left( x \right)$.
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $Q=Q\left( x \right)$ bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
📌 Ứng dụng của bài toán tối ưu hóa trong thực tiễn: Bài toán tối ưu hóa giúp chúng ta giải quyết những vẫn đề trong cuộc sống như tối đa hóa diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hóa khoảng cách, thời gian, chi phí.
📊 Thực tế bài toán: Để tính xem người lái xe thu được nhiều nhất bao nhiêu tiền trong một chuyến chở khách, bài toán tối ưu hóa giúp ta giải quyết vấn đề này.