Đề thi vào 10 Môn Toán Trường THPT Chuyên Đại học Sư Phạm 2024 - 2025

Bài 1. (3,0 điểm)

a) Cho hai số thực a, b thỏa mãn các điều kiện sau: $|a| < 2024$, $|b| < 2024$ và $\sqrt{a + 2024} + \sqrt{2025 - a} - \sqrt{2024 - a} = \sqrt{b + 2024} + \sqrt{2025 - b} - \sqrt{2024 - b}$. Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2024} + a^{2025} - b^{2025}$.

b) Tồn tại hay không các số hữu tỉ dương a, b sao cho $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$?

Bài 2. (2,0 điểm) Giả sử ta có quy tắc $*$ mà với mỗi cặp số nguyên dương $\left( {a,b} \right)$, ta luôn xác định được chỉ một số nguyên dương tương ứng kí hiệu là $a*b$, sao cho ba điều kiện sau được thỏa mãn:

i) $a*a = a$ với mọi số nguyên dương $a$;

ii) $a*b = b*a$ với mọi số nguyên dương $a$ và $b$;