Xí nghiệp \(A\) sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là \(TC = {x^3} - 77{x^2} + 1000x + 4000\) và hàm doanh thu là \(TR = - 2{x^2} + 1312x\), với \(x\) là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp \(A\) được xác định bằng hàm số \(f\left( x \right) = TR - TC\), cực đại lợi nhuận của xí nghiệp \(A\) khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?
Xét hàm số:
\(f\left( x \right) = TR - TC = - 2{x^2} + 1312x - \left( {{x^3} - 77{x^2} + 1000x + 4000} \right)\).
\(f\left( x \right) = - {x^3} + 75{x^2} + 312x - 4000\).
TXĐ: \(D = \left( {0\,;\, + \infty } \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 150x + 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 52\left( N \right)\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt giá trị cực đại tại \(x = 52\).
Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm \(x = 52\).