Đề bài
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí $A$ cao $15$ m của tháp 1 này sang vị trí $B$cao $10$m của tháp $2$trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục toạ độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị: mét), toạ độ của $A$ và $B$ lần lượt là $\left( {3;2,5;15} \right)$ và $\left( {21;27,5;10} \right)$. Biết tọa độ du khách khi ở độ cao $12$ mét là $\left( {a;b;c} \right)$. Tính $P = 5a + b + c$.
Phương pháp giải
Ta viết phương trình tham số của $d$ đi qua 2 điểm $A$ và $B$ sau đó thay cao độ của điểm $C$ để tìm tham số $t$
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ có VTCP $\vec{u}(a,b)$ là:
$\left\{ \begin{matrix} x={{x}_{A}}+at \\ y={{y}_{A}}+bt \\\end{matrix} \right.$
Lời giải chi tiết
Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {18;25; - 5} \right)$.
Phương trình tham số chứa đường zipline là $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + 18t} \\ {y = 2,5 + 25t} \\ {z = 15 - 5t} \end{array} \right.\,\,\,\,~\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right).$
Gọi $C\left( {x_{C};y_{C};12} \right)$ là tọa độ của du khách đang ở độ cao $12$ mét.
Ta có $C \in d$ và $z_{C} = 12$ khi đó $\left. 12 = 15 - 5t\Rightarrow t = \dfrac{3}{5} \right.$.
$x_{C} = 3 + 18.\dfrac{3}{5} = \dfrac{69}{5}$; $y_{C} = 2,5 + 25.\dfrac{3}{5} = 17,5$.
Vậy tọa độ của du khách là $C\left( {\dfrac{69}{5};17,5;12} \right).$ Khi đó $P = 5a + b + c = 5.\dfrac{69}{5} + 18 + 12 = 98,5$.