Đề bài
Tại một nút giao thông có 2 con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$ hai con đường đó thuộc hai đường thẳng $d_{1}:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z}{- 1}$; $d_{2}:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z}{- 3}$. Người ta muốn tạo một con đường $\Delta$ cắt $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB$ nhỏ nhất. Tính độ dài $AB$, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Phương pháp giải
Biểu diễn A, B theo hai tham số. Đường thẳng AB vuông góc với d1, vuông góc với d2 nên tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của AB và d1 bằng 0, của AB và d2 bằng 0
Lời giải chi tiết
Ta có vectơ chỉ phương của các đường thẳng $\Delta,d_{1},d_{2}$ lần lượt là $\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}\,\,$
A, B lần lượt là giao điểm của $\Delta$ với $d_{1},d_{2}$
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {A\left( {t_{1} + 2;t_{1} + 2; - t_{1}} \right)} \\ {B\left( {t_{2} + 2;2t_{2} - 1; - 3t_{2}} \right)} \end{array} \right.\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {t_{2} - t_{1};2t_{2} - t_{1} - 3; - 3t_{2} + t_{1}} \right) = k\overset{\rightarrow}{u} \right.$
Độ dài đoạn AB nhỏ nhất khi là $\left. \Delta\bot d_{1}\,\,\text{và}\,\,\Delta\bot d_{2}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{u_{1}} = 0} \\ {\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{u_{2}} = 0} \end{array} \right. \right.$
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {t_{2} - t_{1} + 2t_{2} - t_{1} - 3 + 3t_{2} - t_{1} = 0} \\ {t_{2} - t_{1} + 4t_{2} - 2t_{1} - 6 + 9t_{2} - 3t_{1} = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {t_{1} = - 1} \\ {t_{2} = 0} \end{array} \right.\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {1;1; - 1} \right)\Rightarrow AB = \sqrt{3} \approx 1,73 \right.$