a) Dùng 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh ta được tứ giác nội tiếp đường kính là đoạn thẳng đó.

b) Chứng minh 2 góc so le trong bằng nhau.

c) Chứng minh tứ giác OBEI nội tiếp, chứng minh đồng dạng từ đó chứng minh được $\bigtriangleup IDE$cân

a) Chứng minh tứ giác $ABDE$ nội tiếp.

Vì $D$ là chân đường vuông góc kể từ $A$ đến $BC$ nên $AD\bot~BC$ hay $\widehat{ADB} = 90^{{^\circ}}$.

Tương tự ta có $\widehat{AEB} = 90^{{^\circ}}$.

$BDA$ và $BEA$ là các tam giác vuông với cạnh huyền là $AB$ nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

hay các điểm $A$, $B$, $D$, $E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$.

Vậy tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$.

b) Chứng minh $DE$song song với $KC$.

Vì tứ giác $ABDE$ nội tiếp nên $\widehat{ABD} + \widehat{AED} = 180^{{^\circ}}$

Mà $\widehat{KED} + \widehat{AED} = 180^{{^\circ}}$ (kề bù) nên $\widehat{KED} = \widehat{ABD}$

Lại có $\widehat{ABC} = \widehat{AKC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$ của $(O)$)

Suy ra $\widehat{KED} = \widehat{AKC}$ mà đây là 2 góc so le trong nên $DE \parallel ~KC$

c) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\bigtriangleup IDE$ cân.

Vì tứ giác $ABDE$ nội tiếp nên $\widehat{IDE} = \widehat{OAB}$ (cùng bù với $\widehat{BDE}$)

$\bigtriangleup OBC$ cân tại $O$ nên đường trung tuyến $OI$ đồng thời là đường cao, suy ra $\widehat{OIB} = 90^{{^\circ}}$.

Vì $OIB$ và $OEB$ là các tam giác vuông có cạnh huyền $OB$ nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính $OB$, từ đó suy ra tứ giác $OBEI$ nội tiếp nên $\widehat{DIE} = \widehat{AOB}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn $\overset{\frown}{BE}$)

Xét $\bigtriangleup IDE$ và $\bigtriangleup OAB$ có

$\widehat{IDE} = \widehat{OAB}$;

$\widehat{DIE} = \widehat{AOB}$

Nên $\bigtriangleup IDE \sim \bigtriangleup OAB$ (g.g)

Mà $\bigtriangleup OAB$ cân tại $O$ nên $\bigtriangleup IDE$ cân tại $I$.