a, 2 góc đối nhau có tổng bằng 180 độ thì nội tiếp đường tròn b, Tam giác đồng dạng suy ra tỉ lệ cạnh c, Dùng góc nội tiếp cùng chắn một đường tròn thì bằng nhau. Sử dụng các góc nhỏ bằng nhau để chứng minh 2 góc lớn bằng nhau

a, Xét $\left( {O\,;\, R} \right)$ có: $\widehat{AEB} = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay$\widehat{KEB} = 90{^\circ}$

Mà đường kính $AB$ vuông góc với dây $CD$ tại điểm $I$$\left. \Rightarrow\widehat{KIB} = 90{^\circ} \right.$

Ta có 2 góc $\widehat{KEB}$và $\widehat{KIB}$đối nhau và tổng $\widehat{KEB} + \widehat{KIB} = 180{^\circ}$nên tứ giác KEBI nội tiếp đường tròn b, Xét $\Delta AKI$ và $\Delta ABE$, ta có: $\widehat{A}$ là góc chung và $\widehat{AIK} = \widehat{AEB} = 90{^\circ}$

Suy ra $\Delta AKI$ đồng dạng $\Delta ABE$ $\left( {g - g} \right)$

$\left. \Rightarrow\dfrac{AK}{AB} = \dfrac{AI}{AE} \right.$ $\left. \Rightarrow AK.AE = AI.AB \right.$ (đpcm)

c) Xét $\Delta APB$ có: $PI\bot AB\left( {I \in AB} \right)$; $AE\bot PB\left( {E \in PB} \right)$; $PI \cap AE \equiv \left\{ K \right\}$

Suy ra $K$là trực tâm của $\Delta APB$.$\left. \Rightarrow PQ\bot AP\left( {Q \in AP} \right) \right.$_.$\Rightarrow$$\widehat{AQB} = 90{^\circ}$ hay $\widehat{AQK} = 90{^\circ}$ suy ra $Q \in \left( {O;R} \right)$

Đường kính $AB$ vuông góc với dây $CD$ tại điểm $I$$\left. \Rightarrow\widehat{AIK} = 90{^\circ} \right.$

Chứng minh được bốn điểm $A,I,Q,K$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AK$ suy ra $AIKQ$ là tứ giác nội tiếp

Suy ra $\widehat{QAK} = \widehat{QIK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset{\frown}{QK}$)

Ta có: $KEBI$ là tứ giác nội tiếp (cmt) $\left. \Rightarrow\widehat{KIE} = \widehat{KBE} \right.$ (hai góc nt cùng chắn $\overset{\frown}{EK}$)

Lại có: $\widehat{QAK} = \widehat{KBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{\frown}{QE}$)

$\left. \Rightarrow\widehat{KIE} = \widehat{KIQ} \right.$ hay $IK$ là phân giác của $\widehat{EIQ}$ (đpcm)

*Chứng minh $\widehat{OQE} = \widehat{QPE}$

Xét $\Delta OQB$, ta có:

$OQ = OB = R$

Suy ra $\Delta OQB$ là tam giác cân tại $O$

Suy ra $\widehat{OQB} = \widehat{OBQ}$ hay $\widehat{OQK} = \widehat{OBQ}$ $(1)$

Xét $\Delta IBK$ và $\Delta QPK$, ta có:

$\widehat{IKB} = \widehat{QKP}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{KQP} = \widehat{KIB} = 90{^\circ}$

Suy ra $\Delta IBK\ $đồng dạng $\Delta QPK$ (g-g)

Suy ra $\widehat{IBK} = \widehat{QPK}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{OBK} = \widehat{QPK}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat{OQK} = \widehat{QPK}$ $(*)$

Ta có: $\widehat{BQE} = \widehat{BAE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overset{\frown}{BE}$) hay $\widehat{KQE} = \widehat{IAK}$ $(3)$

Xét $\Delta IAK$ và $\Delta EPK$, ta có:

$\widehat{IKA} = \widehat{EKP}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{KEP} = \widehat{KIA} = 90{^\circ}$

Suy ra $\Delta IAK\ $ đồng dạng $\Delta EPK$ (g-g)

Suy ra $\widehat{IAK} = \widehat{EPK}$ (hai góc tương ứng) $(4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $\widehat{KQE} = \widehat{EPK}$ $\left( {**} \right)$

Từ $(*)$ và $\left( {**} \right)$ ta có: $\widehat{OQK} + \widehat{KQE} = \widehat{QPK} + \widehat{EPK}$suy ra $\widehat{OQE} = \widehat{QPE}$