Đề bài
Trong Hình dưới, quãng đường AB dài 5 km, quãng đường BC dài 26 km, góc ABC là góc vuông. Một người có kế hoạch đi xe đạp, đi thẳng từ A đến một vị trí M trên quãng đường BC với tốc độ 12 km/h, sau đó lại đi thẳng từ M đến C với tốc độ 13 km/h. Người đó cần chọn vị trí M cách B một khoảng bằng bao nhiêu km để tổng thời gian đi từ A đến M và từ M đến C là ít nhất?
Phương pháp giải
Gọi BM = x
Biểu diễn AM theo x. Viết biểu thức T biểu diễn tổng thời gian đi. Đánh giá biểu thức T để tìm giá trị nhỏ nhất
Lời giải chi tiết
Giả sử BM = x (km) với $0 \leq x \leq 26$.
Ta có $AM = \sqrt{AB^{2} + BM^{2}} = \sqrt{25 + x^{2}}$,
Tổng thời gian đi là $T = \dfrac{\sqrt{25 + x^{2}}}{12} + \dfrac{26 - x}{13} = \dfrac{13\sqrt{25 + x^{2}} - 12x + 312}{156}$ (giờ). $T = \dfrac{\sqrt{169.25 + 169x^{2}} - 12x + 312}{156} = \dfrac{\sqrt{\left( {12x + 25} \right)^{2} + \left( {5x - 60} \right)^{2}} - 12x + 312}{156}$ $T \geq \dfrac{12x + 25 - 12x + 312}{156} = \dfrac{337}{156}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 12.