Đề bài
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {0; - 1;2} \right)$ và hai đường thẳng $d_{1}:\dfrac{x - 1}{- 1} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z - 3}{2}$, $d_{2}:\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y - 4}{- 1} = \dfrac{z - 2}{4}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ và cắt hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $A$ và $B$.
Phương pháp giải
a) Xác định vectơ chỉ phương từ phương trình đường thẳng d1
b) Xác định vectơ chỉ phương từ phương trình đường thẳng d2
c) Biểu điễn A, B theo hai tham số. M, A, B thẳng hàng thì vectơ MA cùng phương với vectơ MB
d) Viết phương trình đường thẳng qua M và có vectơ chỉ phương MB
Lời giải chi tiết
a) Đúng: Đường thẳng $d_{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u_{1}} = \left( {1; - 1;2} \right)$
b) Đúng: Đường thẳng $d_{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u_{2}} = \left( {2; - 1;4} \right)$
Đường thẳng vuông góc với cả $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}} \right\rbrack = \left( {- 2;0;1} \right)$
c) Sai: Ta có: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {\Delta \cap d_{1} = A\left( {t_{1} + 1; - t_{1} - 2;2t_{1} + 3} \right)} \\ {\Delta \cap d_{2} = B\left( {2t_{2} - 1; - t_{2} + 4;4t_{2} + 2} \right)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{MA} = \left( {t_{1} + 1; - t_{1} - 1;2t_{1} + 1} \right)} \\ {\overset{\rightarrow}{MB} = \left( {2t_{2} - 1; - t_{2} + 5;4t_{2}} \right)} \end{array} \right. \right.$
Do M, A, B thẳng hàng nên $\left. \overset{\rightarrow}{MA} = k\overset{\rightarrow}{MB}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {t_{1} + 1 = k\left( {2t_{2} - 1} \right)} \\ {- t_{1} - 1 = k\left( {- t_{2} + 5} \right)} \\ {2t_{1} + 1 = 4kt_{2}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {t_{1} = \dfrac{7}{2}} \\ {k = \dfrac{- 1}{2}} \\ {t_{2} = - 4} \end{array} \right. \right.$
$\left. \Rightarrow A\left( {\dfrac{9}{2};\dfrac{- 11}{2};10} \right),\, B\left( {- 9;8; - 14} \right)\Rightarrow I\left( {\dfrac{- 9}{4};\dfrac{5}{4}; - 2} \right) \right.$
d) Đúng: Ta có: $\overset{\rightarrow}{MB} = \left( {- 9;9; - 16} \right)$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua M(0;-1;2) và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{MB} = \left( {- 9;9; - 16} \right)$ có phương trình là: $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y + 1}{- 9} = \dfrac{z - 2}{16}$
Vậy điểm $N\left( {9; - 10;18} \right) \in \Delta$