Đề bài
Trong không gian Oxyz, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm $A( - 2;1;5)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = (0; - 2;6)$ với tốc độ là $4m/s$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Giả sử sau 5 (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M$. Gọi tọa độ $M(a;b;c)$. Tính $a + 3b + c$.
Phương pháp giải
+ Viết phương trình tham số $t$ của đường cáp.
+ Tính độ dài $AM$ dựa vào vận tốc và thời gian.
+ Tìm tọa độ điểm $M$, tính đường thẳng $AM$ theo $t$.
+ Lập phương trình ẩn $t$ theo độ dài $AM$.
+ Tìm $t$, từ đó tìm được tọa độ điểm $M$.
Lời giải chi tiết
Phương trình tham số của đường cáp: \(d: \left\{ \begin{array}{l} x=-2 \\ y=1-2t \\ z=5+6t \end{array} \right.\) với $t\in \mathbb{R}$.
Do chuyển động của cabin là $4$ m/s và sau $5$ giây cabin đến điểm M nên $AM= 4.5 = 20 (m)$.
Vì $M\in \left( d \right)$ nên $M\left( -2;1-2t;5+6t \right)$, $\overrightarrow{AM}=\left( 0;-2t;6t \right)$.
Vì $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}$ cùng hướng nên $t > 0$.
Ta có $AM= 20$ nên $\sqrt{{{\left( -2t \right)}^{2}}+{{\left( 6t \right)}^{2}}}=20\Leftrightarrow 40{{t}^{2}}=400\Leftrightarrow t=\sqrt{10}$ (do $t > 0$).
Suy ra $M\left( -2; 1 - 2\sqrt{10}; 5 + 6\sqrt{10} \right)$.
Do đó, $a + 3b + c = -2 + 3 \cdot (1 - 2\sqrt{10}) + 5 + 6\sqrt{10} = 6$.
+ Trong không gian Oxyz, nếu $A(a; b; c), B(a'; b'; c')$ thì $AB=\sqrt{{{\left( a'-a \right)}^{2}}+{{\left( b'-b \right)}^{2}}+{{\left( c'-c \right)}^{2}}}$.
+ Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, nhận $\overrightarrow{u}=\left( a; b; c \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l} x={{x}_{0}}+at \\ y={{y}_{0}}+bt \\ z={{z}_{0}}+ct \end{array} \right.\) với $ t\in \mathbb{R}$.