Đề bài
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song và cách đều hai đường thẳng $d_{1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{- 1} = \dfrac{z - 2}{- 1}$ và $d_{2}:\dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{y - 1}{- 1} = \dfrac{z - 2}{- 1}$
$P:2x - 2z + 1 = 0$
$P:2y - 2z + 1 = 0$
$P:2x - 2y + 1 = 0$
$P:2y - 2z - 1 = 0$
Phương pháp giải
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia
Lời giải chi tiết
Gọi mặt phẳng $(P):ax + by + cz + d = 0$
Hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overset{\rightarrow}{u_{1}} = \left( {1;1;1;} \right),\overset{\rightarrow}{u_{2}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$
Do $\left. (P)//d_{1},(P)//d_{2}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{n_{P}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}} \right\rbrack = \left( {0;3; - 3} \right) = 3\left( {0;1; - 1} \right) \right.$
$\left. \Rightarrow(P):y - z + d = 0 \right.$
Trên $d_{1}$ lấy điểm M(2;0;0) và trên $d_{2}$ lấy điểm N(0;1;2)
Khoảng cách từ M đến (P) bằng khoảng cách từ N đến (P) nên $\left. \dfrac{|d|}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{\left| {1 - 2 + d} \right|}{\sqrt{1 + 1}}\Leftrightarrow|d| = \left| {d - 1} \right|\Rightarrow d = \dfrac{1}{2} \right.$
$\left. \Rightarrow(P):y - z + \dfrac{1}{2} = 0\Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0 \right.$