Đề bài
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\left\lbrack {- 1;6} \right\rbrack$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F\left( {- 1} \right) = - 1$.
Xét tính đúng sai các mệnh đề sau
Phương pháp giải
Chia đồ thị hàm số thành hai phần: phần 1 từ x = -1 đến x=2, phần 2 từ x = 2 đến x = 6
Lời giải chi tiết
a) Đúng: Đoạn thẳng AB có dạng: y = 1
${\int\limits_{- 1}^{2}{f(x)dx}} = {\int\limits_{- 1}^{2}{1dx}} = 3$
b) Đúng: ${\int\limits_{2}^{6}{f'(x)dx}} = f(6) - f(2) = - 1 - 1 = - 2$
c) Đúng: Đoạn thẳng BC có dạng: y = ax + b đi qua điểm B(2;1) và C(6;-1)
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {1 = 2a + b} \\ {- 1 = 6a + b} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = \dfrac{- 1}{2}} \\ {b = 2} \end{array} \right.\Rightarrow y = \dfrac{- 1}{2}x + 2 \right.$
${\int\limits_{- 1}^{6}{\left| {f(x)} \right|dx}} = {\int\limits_{- 1}^{2}{\left| {f(x)} \right|dx}} + {\int\limits_{2}^{4}{\left| {f(x)} \right|dx}} + {\int\limits_{4}^{6}{\left| {f(x)} \right|dx}}$
$= {\int\limits_{- 1}^{2}{1dx}} + {\int\limits_{2}^{4}{\left( {\dfrac{- 1}{2}x + 2} \right)dx}} + {\int\limits_{4}^{6}{\left( {\dfrac{1}{2}x - 2} \right)dx}} = 5$
d) Sai: ${\int{\left( {- \dfrac{1}{2}x + 2} \right)dx}} = \dfrac{- 1}{4}x^{2} + 2x + C$
Mà $\left. F\left( {- 1} \right) = 1\Rightarrow\dfrac{- 1}{4}\left( {- 1} \right)^{2} + 2\left( {- 1} \right) + C = 1\Leftrightarrow C = \dfrac{13}{4} \right.$
$\left. \Rightarrow F(x) = \dfrac{- 1}{4}x^{2} + 2x + \dfrac{13}{4} \right.$$\left. \Rightarrow F(4) + F(6) = \dfrac{27}{2} \right.$