Đề bài
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua $B\left( {0;–2;3} \right)$, song song với đường thẳng $d:\dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{y + 1}{- 3} = z$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):x + y - z = 0$ có phương trình:
$2x–3y + 5z–9 = 0$.
$2x–3y + 5z–9 = 0$.
$2x + 3y–5z–9 = 0$.
$2x + 3y + 5z–9 = 0$.
Phương pháp giải
$\left. \left\{ \begin{array}{l} {d//(P)} \\ {(Q)\bot(P)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{u_{d}}//(P)} \\ {\overset{\rightarrow}{n_{(Q)}}//(P)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{d}},\overset{\rightarrow}{n_{(Q)}}} \right\rbrack = \overset{\rightarrow}{n_{(P)}} \right.$
Mặt phẳng (P) đi qua điểm $A\left( {x_{o};y_{o};z_{o}} \right)\,\,$và có vectơ pháp tuyến$\overset{\rightarrow}{n} = \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là: $a\left( {x - x_{o}} \right) + b\left( {y - y_{o}} \right) + c\left( {z - z_{o}} \right) = 0$
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left. \overset{\rightarrow}{u_{d}} = \left( {2; - 3;1} \right),\overset{\rightarrow}{n_{(Q)}} = \left( {1;1; - 1} \right)\Rightarrow\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{d}},\overset{\rightarrow}{n_{(Q)}}} \right\rbrack = \left( {2;3;5} \right) \right.$
Mà $\left. \left\{ \begin{array}{l} {d//(P)} \\ {(Q)\bot(P)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{u_{d}}//(P)} \\ {\overset{\rightarrow}{n_{(Q)}}//(P)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{d}},\overset{\rightarrow}{n_{(Q)}}} \right\rbrack = \overset{\rightarrow}{n_{(P)}} \right.$
Mặt phẳng đi qua $B\left( {0; - 2;3} \right)$và có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{(P)} = \left( {2;3;5} \right)$ có phương trình là: $\left. 2x + 3\left( {y + 2} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0\Rightarrow 2x + 3y + 5x - 9 = 0 \right.$