Đề bài
Người ta thiết kế một mẫu gạch lát nền nhà có dạng hình vuông cạnh 4 dm. Bốn góc viên gạch màu trắng, phần ở giữa màu xanh (Hình 5). Đường viền của phần màu xanh bao gồm bốn đoạn thẳng nằm trên các cạnh hình vuông và bốn đường cong có tính chất: Tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch (hai đường thẳng đi qua tâm viên gạch và lần lượt song song với hai cạnh vuông góc) bằng $2 \mathrm{dm}^{2}$.
Hãy cho biết phần màu xanh có diện tích bằng bao nhiêu decimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Phương pháp giải
+ Gắn hệ trục $O x y$ vào viên gạch sao cho hai trục trùng với hai đường đối xứng, gốc $O$ ở tâm hình vuông.
+ Sử dụng công thức tích phân để tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $BC, ED$; hai đường thẳng $x = 1; x = 2$ và diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $KA, HG$ và hai đường thẳng $x = -1; x = -2$.
+ Diện tích phần màu xanh = Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $BC, ED$ và hai đường thẳng $x = 1; x = 2$ + diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $KA, HG$ và hai đường thẳng $x = -1; x = -2$ + diện tích hình chữ nhật $ABEG$.
Lời giải chi tiết
Gắn trục toạ độ $O x y$ vào viên gạch sao cho hai trục trùng với hai đường đối xứng, gốc $O$ ở tâm hình vuông như hình dưới. Giả sử toạ độ một điểm nằm trên đường viền cong là $(x ; y)$. Theo giả thiết, ta có: $|x y|=2$. Suy ra $y=\dfrac{2}{x}$ hoặc $y=\dfrac{-2}{x}$. Ứng với hình bên, ta có các đường viền cong $A K, D E$ là một phần của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-2}{x}$; các đường viền cong $B C, G H$ là một phần của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2}{x}$.
Khi đó, diện tích phần màu xanh bằng:
$\begin{aligned}& \int_{-2}^{-1}\left|\dfrac{-2}{x}-\dfrac{2}{x}\right| \mathrm{d} x+\int_{1}^{2}\left|\dfrac{2}{x}-\dfrac{-2}{x}\right| \mathrm{d} x+S_{A B E G} \\= & \int_{-2}^{-1}\left(\dfrac{-2}{x}-\dfrac{2}{x}\right) \mathrm{d}x+\int_{1}^{2}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{-2}{x}\right) \mathrm{d} x+4.2 \\= & -\left.4 \ln |x|\right|_{-2} ^{-1}+\left.4 \ln |x|\right|_{1} ^{2}+8 \approx13,5\left(\mathrm{dm}^{2}\right)\end{aligned}$
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\): Cho các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn $[a; b]$. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
📌 Ứng dụng của tích phân: Tích phân có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực:
+ Trong vật lí:
- Tính quãng đường vật chuyển động nếu biết vận tốc theo thời gian.
- Tính công – năng lượng: Tích phân lực theo quãng đường để tính công.
- Tính mô men quán tính, trọng tâm, khối lượng: Tích phân phân bố khối lượng theo hình học.
- Dòng điện – từ: Tích phân để tính điện tích, dòng điện qua một diện tích.
+ Trong kinh tế:
- Tính tổng lợi nhuận hoặc chi phí: Nếu biết lợi nhuận/chi phí biên theo thời gian/sản lượng.
- Tính lũy kế của một đại lượng: Ví dụ: Tích lũy lãi suất, dân số, doanh thu qua thời gian.
+ Trong Sinh học - Y học:
- Mô hình hóa tăng trưởng: Dùng tích phân để tính tổng số sinh vật trong một khoảng thời gian.
- Dược động học: Tính lượng thuốc trong cơ thể qua thời gian.
+ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn giữa đồ thị hàm và trục hoành, ...
+ Tính thể tích vật thể: Dùng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay, thể tích vật thể có mặt cắt thay đổi.
+ Tính độ dài đường cong: Tính độ dài cung của một đường cong bằng công thức tích phân.