Đề bài
Cho hình chữ nhật $ABCD$có $AD = 4\, cm;\, AB = 6\, cm$.Một vật trang trí có dạng là khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục $AD$. Miền $(R)$ được giới hạn bởi cạnh $AD,AB$ của hình chữ nhật $ABCD$, cung phần tư $\overset{\frown}{ID}$của đường tròn có tâm là trung điểm cạnh $AD$, bán kính bằng $2{}{}{}\, cm$ và đường cong $IB$ là một phần Parabol có đỉnh I. Thể tích của vật trang trí đó là bao nhiêu $cm^{3}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Phương pháp giải
Dùng kiến thức mặt cầu
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Khi đó ta có A≡O(0;0), B(6;0), I(6;2), J(2;0)
Phương trình đường tròn tâm J là $\left. x^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} = 4\Rightarrow y = 2 + \sqrt{4 - x^{2}} \right.$
Phương trình đường tròn tâm I là $\left. \left( {x - 6} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} = 4\Rightarrow y = 2 - \sqrt{4 - \left( {x - 6} \right)^{2}} \right.$
Khi đó $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {2 + \sqrt{4 - x^{2}}khi0 \leq x < 2} \\ {2 - \sqrt{4 - \left( {x - 6} \right)^{2}}khi0 \leq x \leq 22} \end{array} \right.$Do đó $V = \pi\int\limits_{0}^{2}\left( {2 + \sqrt{4 - x^{2}}} \right)^{2}dx + \pi\int\limits_{0}^{22}\left( {2 - \sqrt{4 - \left( {x - 6} \right)^{2}}} \right)^{2}dx \approx 243,12$