Dựa vào: Nếu phương trình bậc hai$ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích của hai nghiệm đó $S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a};P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a}$

Vì phương trình có một nghiệm bằng $1$ nên ta có: $2\,.\, 1 + 4\,.\, 1 + m = 0\,\, suy\,\, ra\,\, m = - 6$

Với $\, m = - 6$ phương trình $( \ast )$ có dạng: $2x^{2} + 4x\, - \, 6 = 0$

Ta có $a\,\, + \,\, b\,\, + \,\, c\,\, = \,\, 2\,\, + \, 4\,\, - \,\, 6\,\, = \, 0$

Suy ra phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = \, 1,\,\, x_{2}\, = \, - 3$

Vậy tổng bình phương hai nghiệm là: $\, 1^{2} + \,\,{( - 3)}^{2}\, = \,\, 1\,\, + \,\, 9\,\, = \,\, 10$

Vì phương trình có một nghiệm bằng $1$ nên ta có: $2\,.\, 1 + 4\,.\, 1 + m = 0\,\, suy\,\, ra\,\, m = - 6$

Với $\, m = - 6$ phương trình $( \ast )$ có dạng: $2x^{2} + 4x\, - \, 6 = 0$

Dùng định lý Viet $x_{1}{}^{2} + x_{2}{}^{2} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

= $\left( \dfrac{- 4}{2} \right)^{2} - 2\left( \dfrac{- 6}{2} \right) = \left( {- 2} \right)^{2} + 6 = 10$