Để giải bài toán này, ta sử dụng các công thức mạch điện cơ bản. Trước tiên, cần xác định tổng trở của mạch trong hai trường hợp: nối tiếp và song song.

Bước 1: Khi điện trở R₁, R₂ mắc nối tiếp.

• Tổng trở tương đương: \( R_{nt} = R_1 + R_2 = 2 + 60 = 62 \, \Omega \).
• Dòng điện trong mạch chính: \( I_{nt} = 0,5 \, A \).
• Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch:
  \[ E = I_{nt} \cdot (R_{nt} + r) \implies 0,5 \cdot (62 + r) = E. \] (1)

Bước 2: Khi điện trở R₁, R₂ mắc song song.

• Tổng trở tương đương:
  \[ \frac{1}{R_{ss}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{60} = \frac{31}{60} \implies R_{ss} = \frac{60}{31} \, \Omega. \]
• Dòng điện trong mạch chính: \( I_{ss} = 1,8 \, A \).
• Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch:
  \[ E = I_{ss} \cdot (R_{ss} + r) \implies 1,8 \times \left( \frac{60}{31} + r \right) = E. \] (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

• Từ (1): \( E = 0,5 \times (62 + r) \).
• Từ (2): \( E = 1,8 \times \left( \frac{60}{31} + r \right) \).

Đặt hai phương trình bằng nhau:
\[ 0,5 \times (62 + r) = 1,8 \times \left( \frac{60}{31} + r \right). \]

Giải phương trình này ta có:
\[ 0,5 \times 62 + 0,5r = \frac{108}{31} + 1,8r. \]

Biến đổi:
\[ 31 + 0,5r = \frac{108}{31} + 1,8r. \]

Nhân hai vế với 31 để loại mẫu:
\[ 31 \times 31 + 15,5r = 108 + 31 \times 1,8r. \]

\[ 961 + 15,5r = 108 + 55,8r. \]

Chuyển vế và tính toán:
\[ 961 - 108 = 55,8r - 15,5r \implies 853 = 40,3r \]

Từ đó: \[ r = \frac{853}{40,3} \approx 21,157. \]

Thay giá trị của \( r \) vào (1) hoặc (2), tính được \( E \). Sử dụng:
\[ E = 0,5 \times (62 + 21,157) = 0,5 \times 83,157 \approx 41,578.\]

Vậy, giá trị của \( E \approx 41,578 \, V \) và \( r \approx 21,157 \, \Omega \).

Khi giải bài tập này, các em cần lưu ý:

• Xác định đúng cách mắc của các điện trở để tính tổng trở tương đương.
• Biết cách áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch để thiết lập phương trình.
• Cẩn thận trong việc rút gọn và giải phương trình, đặc biệt khi có phân số.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách thế ngược lại vào các phương trình ban đầu để đảm bảo tính đúng đắn.