Đề bài
Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8 và trục nhỏ là 4 quanh trục $Ox$, và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính 2 quanh trục $Ox$ như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng). Thể tích phần trong của cái trứng khủng long đồ chơi (làm tròn tới hàng phần chục).
Phương pháp giải
Xác định phương trình mảnh trên và mảnh dưới của quả trứng. Dùng tích phân để tính thể tích của phần trên và phần dưới
Lời giải chi tiết
Mảnh trên được biểu diễn bởi elip có phương trình: $\left. \dfrac{x^{2}}{16} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\Leftrightarrow y^{2} = 4\left( {1 - \dfrac{x^{2}}{16}} \right) \right.$
Thể tích phần trong của mảnh trên là: $V_{1} = \pi{\int\limits_{- 4}^{4}{4\left( {1 - \dfrac{x^{2}}{16}} \right)}}dx = \dfrac{32\pi}{3}$
Mảnh dưới được biểu diễn bởi đường tròn có phương trình: $\left. x^{2} + y^{2} = 4\Rightarrow y^{2} = 4 - x^{2} \right.$
Thể tích phần trong của mảnh dưới là: $V_{2} = \pi{\int\limits_{0}^{2}\left( {4 - x^{2}} \right)}dx = \dfrac{16\pi}{3}$
Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi là $V = V_{1} + V_{2} = 16\pi \approx 50,3$