Đề bài
Cho mặt phẳng $(P):3x–2y–3z–7 = 0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 4}{- 2} = \dfrac{z}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {- 1;0;1} \right)$ song song với mặt phẳng $(P)$ và cắt đường thẳng $d$:
$\dfrac{x + 1}{- 15} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z - 1}{- 17}$
$\dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y}{15} = \dfrac{z - 1}{17}$
$\dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y}{- 15} = \dfrac{z - 1}{- 17}$
$\dfrac{y}{- 15} = \dfrac{z - 1}{3} = \dfrac{x + 1}{- 17}$
Phương pháp giải
Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số. Biểu diễn giao điểm M của d và $\Delta$, vectơ $\overset{\rightarrow}{AM}$ theo tham số t
Do $\left. \Delta//(P)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}.\overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = 0 \right.$ từ đó tìm được t và vectơ $\overset{\rightarrow}{AM}$
Lời giải chi tiết
Gọi M là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và d. Khi đó M thuộc đường thẳng d$\left. \Leftrightarrow M\left( {3t + 2; - 2t - 4;2t + 1} \right)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AM} = \left( {3t + 3; - 2t - 4;2t} \right) \right.$
Do $\left. \Delta//(P)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}.\overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = 0\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AM}.\overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = 0\Rightarrow\left( {3t + 3; - 2t - 4;2t} \right).\left( {3; - 2; - 3} \right) = 0 \right.$
$\left. \Rightarrow 3\left( {3t + 3} \right) - 2\left( {- 2t - 4} \right) - 3.2t = 0\Leftrightarrow 7t + 17 = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{- 17}{7} \right.$
$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{AM} = \left( {\dfrac{- 30}{7};\dfrac{6}{7};\dfrac{- 34}{7}} \right) = \dfrac{- 2}{7}\left( {15; - 3;17} \right) \right.$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua A (-1;0;1) và có một vectơ chỉ phương là $\left( {15; - 3;17} \right)$ có phương trình là:$\dfrac{x + 1}{15} = \dfrac{y}{- 3} = \dfrac{z - 1}{17}$