Để hệ phương trình \[ \left\{\begin{array}{l} {x + my = 2m}\ {mx + y = 2} \end{array}\right. \] có vô số nghiệm, điều kiện cần và đủ là hai phương trình tỷ lệ với nhau.

Ta xem hệ vô định hình với \(a_1 = 1\), \(b_1 = m\), \(c_1 = -2m\) và \(a_2 = m\), \(b_2 = 1\), \(c_2 = -2\).

Hệ có vô số nghiệm khi:

• \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)

Ta tính:

• \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{m}\)
• \(\frac{b_1}{b_2} = \frac{m}{1} = m\)
• \(\frac{c_1}{c_2} = \frac{-2m}{-2} = m\)

Điều kiện cần và đủ là \(\frac{1}{m} = m\) và \(m = m\).

Giải phương trình \(\frac{1}{m} = m\):

• \(1 = m^2\)
• \(m^2 - 1 = 0\)
• \((m - 1)(m + 1) = 0\)
• Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = -1\).

Vậy đáp án đúng là C. 1 hoặc -1.

Khi giải hệ phương trình:

• Xem xét điều kiện \(a_1b_2 - a_2b_1\) khi quyết định hệ có bao nhiêu nghiệm. Đây là định thức cơ bản trong lý thuyết hệ phương trình tuyến tính.
• Chú ý khi gặp điều kiện vô số nghiệm hoặc vô nghiệm để dễ dàng đưa ra kết quả phù hợp.