Đề bài
Cho hai đường tròn $\left( {O_{1};5} \right)$ và $\left( {O_{2};3} \right)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ là một đường kính của đường tròn $\left( O_{2} \right)$. Gọi $(D)$ là hình thẳng được giới hạn bởi hai đường tròn. Quay $(D)$ quanh trục $O_{1}O_{2}$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo thành. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Phương pháp giải
Gắn trục tọa độ phù hợp. Viết phương trình đường tròn (O1) , (O2). Sử dụng tích phân để tính thể tích
Lời giải chi tiết
Gắn trục tọa độ Oxy sao cho gốc O trùng với $O_{1}$, tia Ox trùng với tia $O_{1}O_{2}$, tia Oy vuông góc với $O_{1}O_{2}$
Khi đó phương trình đường tròn $\left( {O_{1};5} \right)$ là: $\left. x^{2} + y^{2} = 25\Rightarrow y = \pm \sqrt{25 - x^{2}} \right.$
Ta có: $O_{1}O_{2} = \sqrt{O_{1}A^{2} - O_{2}A^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$
Phương trình đường tròn $\left( {O_{2};3} \right)$ là: $\left. \left( {x - 4} \right)^{2} + y^{2} = 9\Rightarrow y = \pm \sqrt{9 - \left( {x - 4} \right)^{2}} \right.$
Gọi $V_{1}$ là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $D_{1}$ giới hạn bởi các đường: $y = \sqrt{9 - \left( {x - 4} \right)^{2}},y = 0,x = 4,x = 7$ quanh trục Oy
$\left. \Rightarrow V_{1} = \pi{\int\limits_{4}^{7}{\left\lbrack {9 - \left( {x - 4} \right)^{2}} \right\rbrack dx}} = 18\pi \right.$
Gọi $V_{2}$ là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $D_{2}$ giới hạn bởi các đường: $y = \sqrt{25 - x^{2}},y = 0,x = 4,x = 5$ quanh trục Oy
$\left. \Rightarrow V_{1} = \pi{\int\limits_{4}^{5}{\left( {25 - x^{2}} \right)dx}} = \dfrac{14\pi}{3} \right.$
Thể tích hình D là: $V = V_{1} - V_{2} = \dfrac{40\pi}{3} \approx 41,9$