Đề bài
Cho tam giác nhọn, không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm là điểm H. Vẽ hình bình hành ABCD và đường cao BB' của tam giác ABC (điểm B' thuộc cạnh AC). Giả sử hai tia DO và B'B cắt nhau tại điểm E. Chứng minh rằng
a) Bốn điểm A, D, C, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) $HD.BB\text{'} = AB.BC$.
c) Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng HE.
Phương pháp giải
a) Sử dụng Tính chất: “Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn đường kính BC” để chứng minh
b) Chứng minh $\Delta AHD \sim \Delta B\text{'}AB$
c) Vẽ đường kính BK để chứng minh BHDK là hình bình hành
Lời giải chi tiết
a) Ta có $CH\bot AB,AB//CD$, suy ra $CH\bot CD$.
Tam giác CHD vuông tại C nên nội tiếp đường tròn đường kính HD.
$AH\bot BC,BC//AD$, suy ra $AH\bot AD$. Tam giác AHD vuông tại A nên nội tiếp đường tròn đường kính HD.
Suy ra 4 điểm A, D, C, H cùng nằm trên đường tròn đường kính HD.
b) Do A, D, C, H cùng nằm trên đường tròn đường kính HD nên $\widehat{AHD} = \widehat{ACD}$,
Do $AB//CD$ nên $\widehat{ACD} = \widehat{BAB\text{'}}$, Suy ra $\widehat{AHD} = \widehat{BAB\text{'}}$.
Mà $\widehat{HAD} = \widehat{BB\text{'}A} = 90{^\circ}$, suy ra $\Delta AHD \sim \Delta B\text{'}AB$, suy ra $\dfrac{AD}{BB\text{'}} = \dfrac{HD}{AB}$ hay HD.BB' =AB.AD.
Kết hợp với AD = BC, ta có HD.BB' =AB.BC.
c) Vẽ đường kính BK, ta có $\widehat{KAB} = \widehat{KCB} = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do $KA\bot AB,CH\bot AB$ nên KA // CH, do $KC\bot BC,AH\bot BC$ nên KC // AH.
Suy ra AHCK là hình bình hành.
Ta có: HK và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
BD và AC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Suy ra HK và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, suy ra BHDK là hình bình hành.
Suy ra HB = KD, HB // KD. BE // KD, suy ra KD/BE = OK/OB = 1. Suy ra BH = BE.