Để hệ phương trình \[\begin{cases} 2x + y = 3 \\ mx + m^2y = 5 \end{cases}\] có nghiệm duy nhất, định thức của hệ số của hai phương trình không được bằng 0. Hãy tính định thức \(\Delta\):

\[\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ m & m^2 \end{vmatrix} = 2m^2 - m \]

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi \(\Delta \neq 0\), tức là:

• \(2m^2 - m \neq 0\)

Giải phương trình \(2m^2 - m = 0\):

Ta có:

\[m(2m - 1) = 0\]

\(\Rightarrow m = 0\) hoặc \(2m - 1 = 0\)

\(\Rightarrow m = 0\) hoặc \( m = \frac{1}{2} \)

Vậy để \(\Delta \neq 0\), cần có \(m \neq 0\) và \(m \neq \frac{1}{2}\).

Do đó, phương án đúng là:

C. \(m \neq 0\) và \(m \neq \frac{1}{2}\).

• Khi cần hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần kiểm tra định thức của ma trận hệ số khác không.
• Nếu định thức bằng 0, hệ phương trình có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy vào vị trí của hằng số trong hệ phương trình.
• Khi gặp bài toán tương tự, luôn đặt điều kiện cho định thức khác 0 để tìm giá trị tham số phù hợp.