1. Ta thay các vị trí có x trong biểu thức A thành giá trị 49 và tính giá trị biểu thức A. Chú ý giá trị của x phải thỏa mãn điều kiện.

2. Ta rút gọn biểu thức B về biểu thức mà đề đang yêu cầu chứng minh. Chú ý mẫu thức chung là  $x - 1$.

3. Rút gọn biểu thức Q = M . P + $\dfrac{x - 5}{\sqrt{x}}$, đưa về dạng có chứa một số/biểu thức. So sánh với 3.

1. Thay $x = 49$ (thỏa mãn) vào $M$, ta có: $M = \dfrac{\sqrt{49} - 1}{\sqrt{49}} = \dfrac{6}{7}$

Vậy $M = \dfrac{6}{7}$ khi x = 49

2. Ta có $P = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2 + 8\sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{2}{1 - \sqrt{x}}$

$\left. \Leftrightarrow P = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2 + 8\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1} \right.$

$\left. \Leftrightarrow P = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} + \dfrac{2 + 8\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} + \dfrac{2\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} \right.$

$\left. \Leftrightarrow P = \dfrac{x - 3\sqrt{x} + 2 + 2 + 8\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 2}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} \right.$

$\left. \Leftrightarrow P = \dfrac{x + 7\sqrt{x} + 6}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} = \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 6} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} \right.$

Vậy $P = \dfrac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 1}$

3. Xét $Q = M.P + \dfrac{x - 5}{\sqrt{x}}$ suy ra $Q = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}.\dfrac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{x - 5}{\sqrt{x}} = \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Xét hiệu $Q - 3 = \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - 3 = \dfrac{x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)^{2}}{\sqrt{x}}$

Với $x > 0;x \neq \ 1$ thì $\left( {\sqrt{x} - 1} \right)^{2} \geq 0$ và $\sqrt{x} > 0$ suy ra $\dfrac{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)^{2}}{\sqrt{x}} \geq 0$ hay $Q \geq 3$

Dấu “=” xảy ra khi $x = \ 1$ nhưng do điều kiên $x \neq \ 1$ nên $Q > 3$