Đề bài
Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian. Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm $M$trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được một khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí $M$cần tìm tọa độ.
Bốn vệ tinh được đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A\left( {9\,;\, - 2\,;\, 7} \right)$, $B\left( {1\,;\, 4\,;\, 8} \right)$, $C\left( {7\,;\, - 3\,;\, - 5} \right)$, $D\left( {- 4\,;\, - 11\,;\, 12} \right)$. Một con tàu đang ở vị trí điểm $M\left( {x\,;\, y\,;\, z} \right)$mà khoảng cách từ nó đến các vệ tinh lần lượt là $MA = \sqrt{58},\, MB = \sqrt{83}$, $MC = \sqrt{173},\, MD = \sqrt{97}$. Khi đó tổng bình phương tọa độ điểm $M$ bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính
Lời giải chi tiết
Gọi tọa độ điểm M là M(x; y; z).
Ta có
$\begin{array}{l} {MA = \sqrt{{(9 - x)}^{2} + {( - 2 - y)}^{2} + {(7 - z)}^{2}}} \\ {MB = \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2} + {(8 - z)}^{2}}} \\ {MC = \sqrt{{(7 - x)}^{2} + {( - 3 - y)}^{2} + {( - 5 - z)}^{2}}} \\ {MD = \sqrt{{( - 4 - x)}^{2} + {( - 11 - y)}^{2} + {(12 - z)}^{2}}} \end{array}$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{align}& {{(9-x)}^{2}}+{{(-2-y)}^{2}}+{{(7-z)}^{2}}=58 \\ & {{(1-x)}^{2}}+{{(4-y)}^{2}}+{{(8-z)}^{2}}=83 \\ & {{(7-x)}^{2}}+{{(-3-y)}^{2}}+{{(-5-z)}^{2}}=173 \\ & {{(-4-x)}^{2}}+{{(-11-y)}^{2}}+{{(12-z)}^{2}}=97 \\ \end{align} \right.$
$\left\{ \begin{align}& x=2 \\ & y=-5 \\ & z=7 \\ \end{align} \right.$
Vậy M (2; -5; 7) là điểm cần tìm.
Tổng bình phương toạ độ điểm M là: $2^{2} + {( - 5)}^{2} + 7^{2} = 76$