Đề bài
Một thầy giáo có $12$ cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật lí và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra $6$ cuốn sách và tặng cho $6$ học sinh mỗi em một cuốn.
Phương pháp giải
1. Số cách lấy ra 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là chọn 6 trong 12 phần tử có sắp xếp thứ tự.
2. Xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: Sách lấy ra gồm cuốn Toán và Vật lí.
+ Trường hợp 2: Sách lấy ra gồm cuốn Toán và Hóa học.
+ Trường hợp 3: Sách lấy ra gồm cuốn Vật lí và Hóa học.
Tính các cách chọn trong mỗi trường hợp rồi cộng kết quả lại với nhau.
3. Số cách chọn bài toán yêu cầu= Số cách chọn 6 cuốn sách trong 12 cuốn - số cách chọn 6 cuốn sách gồm 2 môn.
4. Xác suất bài toán yêu cầu bằng tỉ số giữa số cách chọn sau khi tặng xong, mỗi loại đều còn ít nhất một cuốn và số cách chọn 6 cuốn sách trong 12 cuốn sách cho 6 bạn học sinh.
Lời giải chi tiết
1. Số cách lấy ra 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là chọn 6 trong 12 phần tử có sắp xếp thứ tự. Do đó, số cách chọn 6 cuốn từ 12 cuốn để tặng cho 6 học sinh là: \( A_{12}^{6}\). Suy ra 1 đúng.
2. Xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: Số cách chọn 6 cuốn gồm cuốn Toán và Vật lí: \(C_9^6\).
+ Trường hợp 2: Số cách chọn 6 cuốn gồm Toán và Hóa học: \(C_8^6\).
+ Trường hợp 3: Số cách chọn 6 cuốn gồm Vật lí và Hóa học: \(C_7^6\).
Số cách chọn ra $6$ cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách là: \( C_9^6 + C_8^6 + C_7^6. \) Do đó, 2 đúng.
3. Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là: \( C_{12}^6 - (C_9^6 + C_8^6 + C_7^6). \) Do đó, 3 sai.
4. Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại đều còn ít nhất một cuốn là: $\dfrac{C_{12}^6 - (C_9^6 + C_8^6 + C_7^6)}{A_12^6} = \dfrac{115}{132}.$ Do đó, 4 đúng.
+ Một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ là một cách sắp xếp có thứ tự $k$ phần tử từ một tập hợp $n$ phần tử (với $k, n$ là các số tự nhiên, $0 \le k \le n$).
+ Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ được tính bằng công thức $A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{\left( n-k \right)!}$
+ Một tổ hợp chập $k$ của $n$ là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, $0 \le k \le n$).
+ Số các tổ hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ được tính bằng công thức $C_{n}^{k}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!k!}$.
+ Cho phép thử $T$ có không gian mẫu là $\Omega $. Giả thiết các kết quả có thể của $T$ là đồng khả năng. Khi đó, nếu $E$ là một biến cố liên quan đến phép thử $T$ thì xác suất của $E$ được cho bởi công thức $P\left( E \right)=\dfrac{n\left( E \right)}{n\left( \Omega \right)}$, trong đó $n\left( \Omega \right)$ và $n\left( E \right)$ tương ứng là số phần tử của tập $\Omega $ và tập $E$.