Đề bài
Lát cắt ngang của một vùng đất được mô hình hoá là một phần hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ (đơn vị độ dài trên các trục là kilomét). Biết khoảng cách hai bên chân đồi $OM = 2~\,\left( {km} \right)$, độ rộng của hồ nước $MN = 1~\,\,\left( {km} \right)$ và ngọn đồi cao $528\,\,(m)$.
Phương pháp giải
1) Nhìn đồ thị nhận biết đường đi của đồ thị
2) Viết phương trình đi qua 3 điểm với y = 0
3) Đạo hàm tìm cực đại.
4) Tìm tung độ của đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết
1) Đúng. Nhìn hình ta thấy đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua các điểm $O\left( 0;0 \right),M\left( 2;0 \right),N\left( 3;0 \right)$.
2) Đúng. Vì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua các điểm $O\left( 0;0 \right),M\left( 2;0 \right),N\left( 3;0 \right)$ nên phương trình có 3 nghiệm tại x = 0, 2, 3 nên ta có phương trình$y=f\left( x \right)=ax(x-2)(x-3)$ với $a<0$.
3) Sai. Ta có đạo hàm phương trình
$y=f\left( x \right)=ax(x-2)(x-3)=ax({{x}^{2}}-5x+6)=a({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+6x)$
$\Rightarrow y'=a(3{{x}^{2}}-10x+6)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{5-\sqrt{7}}{3} \\ & x=-\frac{5+\sqrt{7}}{3} \\ \end{align} \right.$
Khi đó: $(\frac{5-\sqrt{7}}{3};0,55)$là tọa độ đỉnh đồi, điểm cực đại của đồ thị hàm số $(-\frac{5+\sqrt{7}}{3};h)$ là tọa độ đáy hồ, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
4) Sai. Đồ thị hàm số đi qua $(\frac{5-\sqrt{7}}{3};0,55)$nên $a=\frac{11.(-400+280\sqrt{7})}{14400}$
Khi đó $y=f\left( x \right)=\frac{11.(-400+280\sqrt{7})}{14400}x(x-2)(x-3)$
Thay $x=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$vào ta được độ sâu của hồ là $0,164(km)=164m$