Đề bài
Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I\left( {1;2; - 1} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x - 2y - z - 8 = 0$ có phương trình $(C):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$. Tính giá trị của biểu thức $a + b + c + 2d$.
Phương pháp giải
Bán kinh mặt cầu bằng khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P)
Lời giải chi tiết
$R = d\left( {I,(P)} \right) = \dfrac{\left| {2.1 - 2.2 - \left( {- 1} \right) - 8} \right|}{\sqrt{2^{2} + \left( {- 2} \right)^{2} + \left( {- 1} \right)^{2}}} = 3$
Mặt cầu đi qua I và bán kính bằng 3 có phương trình: $\left. \left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {z + 1} \right)^{2} = 9\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 2z - 3 = 0 \right.$
Vậy giá trị biểu thức $a + b + c + 2d = 1 + 2 + \left( {- 1} \right) + 2\left( {- 3} \right) = - 4$