Để tìm bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a, ta hãy sử dụng công thức liên quan đến diện tích của tam giác đều và bán kính đường tròn nội tiếp.

Diện tích của một tam giác đều cạnh a là:

\( A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)

Bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác có diện tích A và nửa chu vi p là:

\( r = \frac{A}{p} \)

Với nửa chu vi của tam giác đều cạnh a là:

\( p = \frac{3a}{2} \)

Vậy, bán kính đường tròn nội tiếp:

\[ r = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{3a} = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a}{2\sqrt{3}}. \]

Vậy đáp án đúng là C. \(\frac{a}{2\sqrt{3}}\).

• Khi giải bài toán liên quan đến tam giác đều, hãy nhớ các tính chất đặc trưng của tam giác đều như: các góc đều là 60 độ, mọi đường cao cũng chính là đường phân giác, đường trung tuyến và trung trực.
• Công thức tính diện tích tam giác đều: \( A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).
• Hãy luôn nhớ công thức bán kính đường tròn nội tiếp \( r = \frac{A}{p} \) để áp dụng khi cần thiết. Trong đó, A là diện tích tam giác và p là nửa chu vi.