Đề bài
Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình $MNEIF$ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $BC = 6\ m$, chiều dài $CD = 12\ m$ (hình vẽ bên). Cho biết $MNEF$ là hình chữ nhật có$MN = 4\ m$; cung $EIF$có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm CD. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ 1 $m^{2}$. Hỏi công ty X cần bao nhiêu triệu đồng để làm bức tranh đó?
Phương pháp giải
+ Chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN.
+ Parabol có đỉnh $I(0; 6)$ và đi qua hai điểm $C(6; 0), D(-6; 0)$, từ đó tìm được phương trình của Parabol.
+ Sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, ta tìm được diện tích bức tranh, từ đó tính được giá tiền của bức tranh.
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN như hình vẽ.
Khi đó, $M(-2; 0), N(2; 0)$.
Parabol có đỉnh $I(0; 6)$ và đi qua hai điểm $C(6; 0), D(-6; 0)$ là $y = - \dfrac{1}{6}x^{2} + 6$.
Bức tranh là hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - \dfrac{1}{6}x^{2} + 6, y = 0$ và các đường thẳng $x = 2; x = -2$
Diện tích bức tranh là: $S=\int\limits_{-2}^{2}{\left| -\dfrac{{{x}^{2}}}{6}+6 \right|\ dx}=\dfrac{208}{9}\ \left( {{m}^{2}} \right)$
Suy ra số tiền là: $\dfrac{208}{9} \times 900\ 000 = 20\ 800\ 000$ đồng $= 20,8$ triệu đồng
+ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và hai đường thẳng $ x = a$, $x = b$ được tính bằng công thức $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}\ dx$.
Chú ý: Nếu hiệu $f\left( x \right)-g\left( x \right)$ không đổi dấu trên đoạn $[a; b]$ thì $\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}\ dx=\left| \int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}\ dx \right|$
📌 Ứng dụng của tích phân: Tích phân có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực:
+ Trong vật lí:
- Tính quãng đường vật chuyển động nếu biết vận tốc theo thời gian.
- Tính công – năng lượng: Tích phân lực theo quãng đường để tính công.
- Tính mô men quán tính, trọng tâm, khối lượng: Tích phân phân bố khối lượng theo hình học.
- Dòng điện – từ: Tích phân để tính điện tích, dòng điện qua một diện tích.
+ Trong kinh tế:
- Tính tổng lợi nhuận hoặc chi phí: Nếu biết lợi nhuận/chi phí biên theo thời gian/sản lượng.
- Tính lũy kế của một đại lượng: Ví dụ: Tích lũy lãi suất, dân số, doanh thu qua thời gian.
+ Trong Sinh học - Y học:
- Mô hình hóa tăng trưởng: Dùng tích phân để tính tổng số sinh vật trong một khoảng thời gian.
- Dược động học: Tính lượng thuốc trong cơ thể qua thời gian.
+ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn giữa đồ thị hàm và trục hoành, ...
+ Tính thể tích vật thể: Dùng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay, thể tích vật thể có mặt cắt thay đổi.
+ Tính độ dài đường cong: Tính độ dài cung của một đường cong bằng công thức tích phân.