Đề bài
Truecaller App là một ứng dụng được sử dụng để chặn cuộc gọi rác trong điện thoại. Tuy nhiên, vì ứng dụng không tuyệt đối hoàn hảo nên một cuộc gọi rác bị chặn với xác suất $0,8$ và một cuộc gọi đúng (không phải là cuộc gọi rác) bị chặn với xác suất $0,01$. Thống kê cho thấy tỉ lệ cuộc gọi rác là $10\%$. Chọn ngẫu nhiên một cuộc gọi không bị chặn. Tính xác suất để đó là cuộc gọi đúng (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Phương pháp giải
Gọi R là biến cố cuộc gọi rác và D là biến cố cuộc gọi đúng, B là biến cố cuộc gọi bị chặn.
Dùng định lý Bayes
Lời giải chi tiết
Gọi R là biến cố cuộc gọi là cuộc gọi rác, và D là biến cố cuộc gọi là cuộc gọi đúng. Ta có $P(R) = 0,1~$và $P(D) = 1 - P(R) = 0,9$
Gọi B là biến cố cuộc gọi bị chặn. Ta có
Xác suất cuộc gọi rác bị chặn$P\left( B \middle| R \right) = 0,8$
Xác suất cuộc gọi đúng bị chặn $P\left( B \middle| D \right) = 0,01~$
Do đó, xác suất cuộc gọi không bị chặn, cho trước đó là cuộc gọi rác là $P\left( Bc \middle| R \right) = 1 - P\left( B \middle| R \right) = 1 - 0,8 = 0,2$
Xác suất cuộc gọi không bị chặn, cho trước đó là cuộc gọi đúng là $P\left( Bc \middle| D \right) = 1 - P\left( B \middle| D \right) = 1 - 0,01 = 0,99$
Ta muốn tính xác suất cuộc gọi là cuộc gọi đúng, cho trước cuộc gọi đó không bị chặn, tức là $P\left( D \middle| Bc \right)$Áp dụng định lý Bayes:
$P\left( D \middle| Bc \right)\ = \ \dfrac{\left\lbrack {P\left( Bc \middle| D \right).P(D)} \right\rbrack}{\left\lbrack {P\left( Bc \middle| D \right).P(D)\ + \ P\left( Bc \middle| R \right).P(R)} \right\rbrack} = \dfrac{0,99.0,9}{0,99.0,9 + 0,2.0,1} \approx 0,98$