Đề bài
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{- 1} = \dfrac{z}{2}$ và hai điểm $A\left( {2;1;0} \right),B\left( {- 2;3;2} \right)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua hai điểm $A,B$ có tâm thuộc đường thẳng $d$ và có bán kính $R$. Khi đó $R^{2}$ bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải
Biểu diễn điểm I theo tham số. R = IA = IB từ đó tìn được tham số
Lời giải chi tiết
Gọi I là tâm mặt cầu. Khi đó $I\left( {2t + 1;t; - 2t} \right)$
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{IA} = \left( {2t - 1;t - 1; - 2t} \right)} \\ {\overset{\rightarrow}{IB} = \left( {2t + 3;t - 3; - 2t - 2} \right)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {IA = \sqrt{9t^{2} - 6t + 2}} \\ {IB = \sqrt{9t^{2} + 14t + 22}} \end{array} \right. \right.$
Do mặt cầu đi qua hai điểm A, B nên $\left. R = IA = IB\Rightarrow\sqrt{9t^{2} - 6t + 2} = \sqrt{9t^{2} + 14t + 22}\Rightarrow t = - 1 \right.$
$\left. \Rightarrow R = \sqrt{17}\Rightarrow R^{2} = 17 \right.$