Đề bài
Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con nông dân tích cực xuống đồng cấy lúa. Cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao 20 $cm$ có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số $v(t) = - 0,1t^{3} + 1,1t^{2}$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v(t)$ tính bằng cm/tuần. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ $t$ ($t \geq 0$).
Phương pháp giải
Hàm h(t) là nguyên hàm của v(t). Khỏa sát đồ thị và vẽ bảng biến thiên của h(t)
Lời giải chi tiết
a) Đúng: $h(t) = {\int{v(t)dt}} = {\int{\left( {- 0,1t^{3} + 1,1t^{2}} \right)dt}} = \dfrac{- 1}{40}t^{4} + \dfrac{11}{30}t^{3} + C$
Tại $t = 0$thì $\left. h(0) = 20\Rightarrow C = 20 \right.$
Vậy $h(t) = \dfrac{- 1}{40}t^{4} + \dfrac{11}{30}t^{3} + 20$
b) Sai: Giai đoạn tăng trưởng của cây lúa kết thúc khi tốc độ tăng trưởng bằng 0
$\left. \Leftrightarrow v(t) = 0\Leftrightarrow - 0,1t^{3} + 1,1t^{2} = 0\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 0} \\ {t = 11} \end{array} \right. \right.$
Vậy giai đoạn tăng trưởng của cây lúa kéo dài 11 tuần
c) Sai: Ta có: $h'(t) = \dfrac{- 1}{10}t^{3} + \dfrac{11}{10}t^{2}$
$\left. h'(t) = 0\Leftrightarrow\dfrac{- 1}{10}t^{3} + \dfrac{11}{10}t^{2} = 0\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 0} \\ {t = 11} \end{array} \right. \right.$
Bảng biến thiên
| $t$ | 0 11 |
| $h'(t)$ | 0 + 0 |
| $h(t)$ | 14220 |
Vậy chiều cao tối đa của cây lúa là 142 cm
d) Đúng: Ta có: $v'(t) = - 0,3t^{2} + 2,2t$
$\left. v'(t) = 0\Leftrightarrow - 0,3t^{2} + 2,2t = 0\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 0} \\ {t = \dfrac{22}{3}} \end{array} \right. \right.$
Bảng biến thiên
| $t$ | 0 $\dfrac{22}{3}$ 11 |
| $v'(t)$ | 0 + 0 - |
| $v(t)$ | 19,70 0 |
Tại thời điểm $t = \dfrac{22}{3}$ thì cây lúa phát triển nhanh nhất, khi đó chiều cao của cây lúa là $h\left( \dfrac{22}{3} \right) = 92,3 > 80$