Đề bài
Một hộp đựng 100 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, trong đó có 35 viên bi màu đỏ, 25 viên bi màu xanh và số còn lại là bi màu vàng. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi rồi bỏ lại vào hộp.
a) Tính xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng.
b) Bạn An được mẹ cho thêm x viên bi màu xanh vào trong hộp. Tìm x, biết rằng khi đó xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng là $\dfrac{1}{3}$.
Phương pháp giải
a) + Tìm số phần tử của không gian mẫu với phép thử là "Bạn An lấy ngẫu nhiên được một viên bi trong hộp có 100 viên bi", số kết quả thuận lợi của biến cố "Bạn An lấy được viên bi màu vàng".
+ Xác suất của biến cố "Bạn An lấy được viên bi màu vàng" = số kết quả thuận lợi của biến cố "Bạn An lấy được viên bi màu vàng" : số phần tử của không gian mẫu.
b) + Tìm số viên bi có trong hộp khi thêm $x$ viên bi xanh.
+ Lập phương trình ẩn $x$ về xác suất của biến cố "Bạn An lấy được viên bi màu vàng".
+ Giải phương trình để tìm $x$.
Lời giải chi tiết
a) Số viên bi màu vàng có trong hộp là: $100 - 35 - 25 = 40$ (viên bi).
Phép thử là "Bạn An lấy ngẫu nhiên được một viên bi trong hộp có 100 viên bi" nên số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega) = 100\).
Vì 100 viên bi có cùng khối lượng và kích thước nên $100$ kết quả có thể này là đồng khả năng.
Gọi A là biến cố "Bạn An lấy được viên bi màu vàng" nên số kết quả thuận lợi của biến cố A là $n(A) = 40$.
Xác suất của biến cố A là: $ P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5}$.
Vậy xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng là \( \dfrac{2}{5} \).
b) Số viên bi có trong hộp khi thêm $x$ viên bi xanh là: $x + 100$ (viên bi).
Khi đó, xác suất của biến cố A là:
$\dfrac{40}{x + 100} = \dfrac{1}{3}$
$x + 100 = 120$
$x = 20$
Vậy $x = 20$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách tính xác suất của một biến cố E:
Bước 1. Mô tả không gian mẫu của phép thử. Từ đó xác định số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \).
Bước 2. Chứng tỏ các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng.
Bước 3. Mô tả kết quả thuận lợi của biến cố E. Từ đó xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố E.
Bước 4. Lập tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố E với số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \).
📌 Ứng dụng của xác suất: Xác suất có ứng dụng nhiều trong thực tiễn:
+ Dự báo thời tiết: ví dụ, dự đoán xác suất xảy ra mưa trong một tuần được tính dựa trên các mô hình khí tượng và dữ liệu lịch sử, ...
+ Bảo hiểm: Dùng xác suất để tính mức phí bảo hiểm phù hợp cho từng được đối tượng (ví dụ: người trẻ tuổi có xác suất gây tai nạn cao hơn nên phí bảo hiểm cao hơn).
+ Trò chơi, cá cược: Trong các trò chơi như lô tô, xổ số, bài poker… xác suất được dùng để tính cơ hội thắng – thua.
+ Tài chính - kinh tế: Dự đoán xác suất xảy ra khủng hoảng tài chính hoặc rủi ro đầu tư.
+ Công nghiệp, sản xuất: Tính xác suất lỗi của sản phẩm để kiểm soát chất lượng, dự đoán xác suất máy móc hỏng để lên kế hoạch bảo trì, …