Đề bài
Một bệnh viện sử dụng một xét nghiệm để phát hiện một loại bệnh với độ chính xác là 95% (nghĩa là 95% bệnh nhân mắc bệnh sẽ có kết quả dương tính). Xét nghiệm này cũng có tỷ lệ dương tính giả là 2% (nghĩa là 2% bệnh nhân không mắc bệnh cũng có kết quả dương tính). Biết rằng 1% dân số thực sự mắc bệnh này. Nếu một người nhận kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất thực sự người đó mắc bệnh là bao nhiêu?
Khoảng $32\text{\%}$.
Khoảng $47\text{\%}$.
Khoảng $83\text{\%}$.
Khoảng $95\text{\%}$.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức Bayes
Lời giải chi tiết
Gọi A là biến cố: “ Người đó mắc bệnh”, B là biến cố: “Người đó có xét nghiệm dương tính”
Theo đề bài ta có: $P(A) = 0,01;\, P\left( B \middle| A \right) = 0,95;\, P\left( B \middle| \overline{A} \right) = 0,02$
Xác suất người đố mắc bệnh, nếu có kết quả xét nghiệm dương tính là:
$P\left( A \middle| B \right) = \dfrac{P\left( B \middle| A \right).P(A)}{P\left( B \middle| A \right).P(A) + P\left( B \middle| \overline{A} \right).P\left( \overline{A} \right)} = \dfrac{0,95.0,01}{0,95.0,01 + 0,02\left( {1 - 0,01} \right)} \approx 0,32$