Đề bài
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{array}{l} {x = t} \ {y = - 1 - 4t} \ {z = 6 + 6t} \end{array} \right.$ và $d_{2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z + 2}{- 5}$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ qua $M\left( {1; - 1;2} \right)$ và vuông góc với cả $d_{1},d_{2}$ có dạng $\dfrac{x - 1}{a} = \dfrac{y + 1}{b} = \dfrac{z - 2}{c}$. Tính $a + b + c$.
Phương pháp giải
Vectơ chỉ phương của d3 bằng tích có hường của vectơ chỉ phương d1 và vectơ chỉ phương d2
Lời giải chi tiết
Ta cóc các vectơ chỉ phương của $d_{1},d_{2},d_{3}$ lần lượt là $\overset{\rightarrow}{u_{1}} = \left( {1; - 4;6} \right),\overset{\rightarrow}{u_{2}} = \left( {2;1; - 5} \right),\overset{\rightarrow}{u_{3}}$
Do $\left. d_{3}\bot d_{1},d_{3}\bot d_{2}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{3}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{1}},\overset{\rightarrow}{u_{2}}} \right\rbrack = \left( {14;17;9} \right) \right.$
Phương trình đường thẳng $d_{3}$ là: $\dfrac{x - 1}{14} = \dfrac{y + 1}{17} = \dfrac{z - 2}{9}$
$\left. \Rightarrow a + b + c = 2 + 17 + 9 = 28 \right.$