Đề bài
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a. Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
b. Chứng minh $OA\bot BC$ và tính tích OH.OA theo R
c. Tia AO cắt đường tròn (O) tại M, N (M nằm giữa A và N). Chứng minh: $AM.AN = AH.AO$. Kẻ đường kính BD. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh K là trung điểm CE.
Phương pháp giải
a) Chứng minh tam giác ABO vuông tại B và tam giác AOC vuông tại C. Suy ra, 4 điểm O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA.
b) + Chỉ ra OA là đường trung trực của BC nên $OA\bot BC$ tại H.
+ Chứng minh $\Delta OAB\backsim \Delta OBH$ theo trường hợp góc – góc, suy ra $OA.OH=O{{B}^{2}}={{R}^{2}}$
c) + Chứng minh $\Delta ABM\backsim \Delta ANB$ theo trường hợp góc – góc, suy ra $A{{B}^{2}}=AN.AM$.
+ Chứng minh $\Delta ABH\backsim \Delta AOB$ theo trường hợp góc – góc, suy ra $A{{B}^{2}}=AO.AH$.
+ Do đó, $AM.AN=AH.AO$
+ Gọi F là giao điểm của DC và AB.
+ Chứng minh AB = AF.
+ Chứng minh EC//BF.
+ Sử dụng hệ quả định lý Thalès vào các tam giác ABD và tam giác DAF có $\dfrac{EK}{AB}=\dfrac{DK}{DA}$, $\dfrac{CK}{AF}=\dfrac{DK}{DA}$.
+ Do đó, EK = CK nên K là trung điểm của EC.
Lời giải chi tiết
a) Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $AB\bot OB$ tại B, $AC\bot OC$ tại C. Do đó, tam giác ABO vuông tại B và tam giác AOC vuông tại C. Suy ra, 4 điểm O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA.
b) Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại A nên AB = AC. Suy ra, A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Lại có: OB = OC nên O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Do đó, OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Mà BC cắt OA tại H nên $OA\bot BC$ tại H. Suy ra $\widehat{OHB}={{90}^{o}}$.
Tam giác OAB và tam giác OBH có: $\widehat{OBA}=\widehat{OHB}={{90}^{o}},\widehat{BOA}\ chung$.
Do đó, $\Delta OAB\backsim \Delta OBH\left( g.g \right)$. Suy ra: $\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OB}{OH}\Rightarrow OA.OH=O{{B}^{2}}={{R}^{2}}$.
c) Tam giác ABM và tam giác ANB có: $\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$, $\widehat{NAB}$ chung.
Do đó, $\Delta ABM\backsim \Delta ANB\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=AN.AM$.
Vì $\Delta ABH\backsim \Delta AOB\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=AO.AH$.
Do đó, $AM.AN=AH.AO$ (đpcm).
Gọi F là giao điểm của DC và AB.
Vì OA là đường trung trực của BC nên H là trung điểm của BC.
Mà O là trung điểm của BD nên OH là đường trung bình của tam giác BCD. Suy ra OH//CD hay OA //DF.
Tam giác BDF có: OA//DF, O là trung điểm của BD nên A là trung điểm của BF. Do đó, $BA=AF$ (1).
Vì $EC\bot BD,AF\bot BD$ nên EC//BF.
Tam giác BAD có: EK//AB nên $\dfrac{EK}{AB}=\dfrac{DK}{DA}$ (2) (hệ quả định lý Thalès).
Tam giác FAD có: CK//AF nên $\dfrac{CK}{AF}=\dfrac{DK}{DA}$ (3) (hệ quả định lý Thalès).
Từ (1), (2), (3) ta có: $EK=CK$ nên K là trung điểm của CE.
+ Tam giác vuông nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền của tam giác đó.
+ Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+ Trường hợp đồng dạng góc - góc của hai tam giác: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
+ Hệ quả định lý Thalès: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho.