Đề bài
Trong điều kiện nuôi cấy thích hợp, cứ 20 phút vi khuẩn $E$. coli lại phân đôi một lần. Giả sử lúc đầu có 5 vi khuẩn và sau $n$ phút có hơn 2000 vi khuẩn. Giá trị nhỏ nhất của $n$ là bao nhiêu?
Phương pháp giải
+ Tìm hàm số P(n) biểu thị số vi khuẩn có sau n phút.
+ Giải bất phương trình $P(n) > 2 000$, từ đó kết luận về $n$.
Lời giải chi tiết
Sau $n$ phút thì số vi khuẩn $E$. coli là $P(n) = 5.2^{\frac{n}{20}}$.
Theo giả thiết, $P(n) > 2 000 \Rightarrow 5 \cdot 2^{\frac{n}{20}}>2000 \Rightarrow n>40 \log _{2} 20 \approx 172,88$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ là 173.
Cách giải bất phương trình mũ ${{a}^{x}}>b$ với $a>1,a\ne 0$:
+ Nếu $b\le 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$.
+ Nếu $b>0$ thì bất phương trình tương đương với ${{a}^{x}}>{{a}^{{{\log }_{a}}b}}$
Với $a>1$, nghiệm của bất phương trình là $x>{{\log }_{a}}b$.
Với $0<a<1$, nghiệm của bất phương trình là $x<{{\log }_{a}}b$.
📌 Ứng dụng của hàm số mũ:
- Sinh học: Mô hình hóa sự tăng trưởng dân số trong môi trường giới hạn tài nguyên.
- Y tế: Mô tả sự lây lan dịch bệnh (ví dụ như Covid-19), nơi ban đầu tăng nhanh rồi chững lại.
- Kinh tế – Marketing: Dự báo chu kỳ phát triển của sản phẩm (product life cycle).
- Trí tuệ nhân tạo: Hàm sigmoid trong mạng neuron chính là dạng logistic.