Đề bài
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $0\left( {0;0;0} \right)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600$km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900$km/h$ theo đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x = - 1000 + 100t} \ {y = - 300 + 80t\left( {t \in R} \right)} \ {z = 100\sqrt{11}t} \end{array} \right.$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).
Phương pháp giải
a) Ranh giới vùng phủ sóng là khoảng cách tối đa phát hiện được máy bay
b) Viết phương trình mặt cầu tâm O, bán kính R=600
c) So sánh OM với bán kính
d) Biểu diễn B, C theo hai tham số. OB=OC=R nên tìm được tham số. Tính độ dài BC
Lời giải chi tiết
a) Sai: Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 600km.
b) Đúng: Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng có tâm O và bán kính bằng 600 km là: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 600^{2} = 360000$
c) Đúng: Ta có: $OM = \sqrt{500^{2} + 100^{2} + \left( {100\sqrt{11}} \right)^{2}} \approx 608,3 > R$
d) Sai: Gọi B là vị trí đài kiểm soát không lưu phát hiện máy bay và C là vị trí máy bay ra khỏi vùng kiểm soát không lưu
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {B\left( {- 1000 + 100t_{1}; - 300 + 80t_{1};100\sqrt{11}} \right)} \\ {C\left( {- 1000 + 100t_{2}; - 300 + 80t_{2};100\sqrt{11}} \right)} \end{array} \right. \right.$
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {OB = \sqrt{\left( {- 1000 + 100t_{1}} \right)^{2} + \left( {- 300 + 80t_{1}} \right)^{2} + \left( {100\sqrt{11}} \right)^{2}} = R = 600} \\ {OC = \sqrt{\left( {- 1000 + 100t_{2}} \right)^{2} + \left( {- 300 + 80t_{2}} \right)^{2} + \left( {100\sqrt{11}} \right)^{2}} = R = 600} \end{array} \right. \right.$
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {t_{1} = \dfrac{210}{41}} \\ {t_{2} = 10} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {B\left( {\dfrac{- 20000}{41};\dfrac{4500}{41};100\sqrt{11}} \right)} \\ {C\left( {0;500;100\sqrt{11}} \right)} \end{array} \right.\Rightarrow BC \approx 624,7 \right.$
Thời gian máy bay đi hết quãng đường BC là: $\dfrac{624,7}{900} \approx 0,7$