Đề bài
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{3x - 1}$ và thỏa mãn $F(0) + F(3) = 5$. Giá trị của biểu thức $T = F\left( {- 1} \right) + F(11)$ bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải
Biến đổi biểu thức T - 5 để dưa về tổng hai tích phân
Lời giải chi tiết
Ta có: $T - 5 = F\left( {- 1} \right) + F(11) - F(0) - F(3) = F\left( {- 1} \right) - F(0) + F(11) - F(3)$$= {\int\limits_{0}^{- 1}{f(x)dx}} + {\int\limits_{3}^{11}{f(x)dx}} = - {\int\limits_{- 1}^{0}{f(x)dx}} + {\int\limits_{3}^{11}{f(x)dx}}$
$= - {\int\limits_{- 1}^{0}{\dfrac{1}{3x - 1}dx}} + {\int\limits_{3}^{11}{\dfrac{1}{3x - 1}dx}} = \dfrac{- 1}{3}\ln\left| {3x - 1} \right|\left| \begin{array}{l} 0 \\ {- 1} \end{array} \right. + \dfrac{1}{3}\ln\left| {3x - 1} \right|\left| \begin{array}{l} 11 \\ 3 \end{array} \right.$
$= \dfrac{1}{3}\left( {- \ln 1 + \ln 4 + \ln 32 - \ln 8} \right) = \dfrac{2}{3}\ln 4 \approx 0,92$