Đề bài
Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt tại điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và vật cần quan sát đặt tại điểm $N\left( {2;3; - 12} \right)$. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng Oxy tâm đặt tại gốc tọa độ, bán kính R che khuất tầm nhìn của người quan sát. Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Phương pháp giải
Phân tích yêu cầu:
Người quan sát tại $M(1,2,3)$ nhìn về vật tại $N(2,3,-12)$. Để tấm bia hình tròn che khuất hoàn toàn vật, nó phải chắn hoàn toàn đường nhìn MN. Điều này xảy ra khi:
- Điểm giao $P$ của $MN$ với mặt phẳng $Oxy$ nằm trong tấm bia.
- Bán kính tấm bia $R$ phải lớn hơn hoặc bằng khoảng cách từ $O$ đến $P$, tức là:$ R \geq OP $với $ OP $ là khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0,0,0)$ đến điểm giao $P$.
Các bước giải:
Viết phương trình đường thẳng MN.
Tìm giao điểm P giữa đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0,0) đến điểm P.
Xác định bán kính nhỏ nhất của tấm bìa.
Lời giải chi tiết
Vector chỉ phương của đường thẳng MN : $\vec u = (1,1, - 15)$
Phương trình tham số của đường thẳng MN là : $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=2+t \\ z=3-15 t\end{array}\right.$
Vì mặt phẳng $Oxy$ có phương trình $ z = 0 $, thay $ z = 0 $ vào phương trình tham sốThay $z = 0$ vào phương trình đường thẳng: $3 - 15t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{5}$
Gọi P là giao điểm của MN với mặt phẳng Oxy. Suy ra $P\left( {\frac{6}{5},\frac{{11}}{5},0} \right)$
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0,0,0)$ đến điểm $P$là OP:
$OP = \sqrt {{{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{5}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{36}}{{25}} + \frac{{121}}{{25}}} = \sqrt {\frac{{157}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {157} }}{5}$
Khi đó bán kính $R$nhỏ nhất của tấm bìa phải thỏa mãn: $R = \frac{{\sqrt {157} }}{5} \approx \frac{{12.53}}{5} \approx 2.51$.
Chú ý khi giải
Mở rộng bài toán:
- Nếu mặt phẳng tấm bia không nằm trên $Oxy$: Ta có thể đặt mặt phẳng ở dạng tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$ và tính toán tương tự.
- Nếu vật không phải điểm mà là một vật thể lớn: Khi đó, tấm bia có thể cần có bán kính lớn hơn để che toàn bộ vật thể.
- Nếu vị trí quan sát thay đổi: Ta có thể tính toán lại với điểm quan sát $ M $ khác và kiểm tra điều kiện che khuất.
Ứng dụng thực tế:
- Ứng dụng trong thiết kế bảng quảng cáo: Xác định kích thước tối thiểu của một bảng quảng cáo để đảm bảo nó có thể nhìn thấy từ một vị trí quan sát cố định.
- Ứng dụng trong kỹ thuật camera giám sát: Xác định kích thước vùng che khuất khi đặt camera ở một vị trí quan sát cố định.
- Ứng dụng trong thiên văn học: Xác định kích thước của một thiên thể (như Mặt Trăng che khuất Mặt Trời trong nhật thực) để che toàn bộ tầm nhìn từ Trái Đất.