Đề bài
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\left( {x + 1} \right)^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} + \left( {z + 2} \right)^{2} = 2$ và hai đường thẳng $d:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y}{- 1} = \dfrac{z - 1}{1};\Delta:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{- 1} = \dfrac{z - 1}{1}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với $(S)$ và song song với $d,\Delta$.
$y + z + 3 = 0$
$x + z + 1 = 0$
$x + y + 1 = 0$
$x + z - 1 = 0$
Phương pháp giải
Gọi mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) là $(P):ax + by + cz + d = 0$
Do $\left. (P)//d,(P)//\Delta\Rightarrow\overset{\rightarrow}{n_{p}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{d}},\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}} \right\rbrack \right.$. Ta tìm được a, b, c
Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng $\sqrt{2}$, ta tìm được d
Lời giải chi tiết
Gọi mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) là $(P):ax + by + cz + d = 0$
Ta có: $\overset{\rightarrow}{u_{d}} = \left( {1;2; - 1} \right),\,\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = \left( {1;1; - 1} \right),\, I\left( {- 1;1; - 2} \right),R = \sqrt{2}$
Do $\left. (P)//d,(P)//\Delta\Rightarrow\overset{\rightarrow}{n_{p}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{d}},\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}} \right\rbrack = \left( {- 1;0; - 1} \right) = - 1\left( {1;0;1} \right) \right.$
$\left. \Rightarrow(P):x + z + d = 0 \right.$
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng $\sqrt{2}$$\left. \Leftrightarrow\dfrac{\left| {- 1 - 2 + d} \right|}{\sqrt{1 + 1}} = \sqrt{2}\Leftrightarrow\left| {d - 3} \right| = 2\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {d = 1} \\ {d = 5} \end{array} \right.\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {(P):x + z + 1 = 0} \\ {(P):x + z + 5 = 0} \end{array} \right. \right.$