Đạo hàm và lập bảng biến thiên của từng trường hợp để xét đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất của f(x).

1) Sai. Hàm số có TXĐ là R. Ta có $f(x) = 2\sin 2x + 2x$. Khi đó $f'(x) = 4\cos 2x + 2$.

2) Đúng. Ta có $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow\cos 2x = \dfrac{- 1}{2}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi} \\ {x = - \dfrac{\pi}{3} + k\pi} \end{array} \right. \right.$.

Trên đoạn $\lbrack - \pi;\pi\rbrack$ thì $f'(x) = 0$ có 4 nghiệm $x \in \left\{ \dfrac{- 2\pi}{3};\dfrac{- \pi}{3};\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3} \right\}$.

Bảng biến thiên:

Do đó hàm số $y = f(x)$ có  điểm cực trị thuộc đoạn $\lbrack - \pi;\pi\rbrack$.

3) Sai. Trên khoảng (-2;-1) thì $f'(x) = 0$ có 1 nghiệm là $x = \dfrac{- \pi}{3}$.

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 2;\dfrac{- \pi}{3})$ và đồng biến trên khoảng $(\dfrac{- \pi}{3}; - 1)$.

4) Đúng. Trên đoạn $\lbrack 0;\dfrac{\pi}{2}\rbrack$ thì $f'(x) = 0$ có 1 nghiệm là $x = \dfrac{\pi}{3}$.

Ta có $f(0) = 0;f(\dfrac{\pi}{3}) = \dfrac{2\pi}{3} + \sqrt{3},f(\dfrac{\pi}{2}) = \pi$ nên giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $\lbrack 0;\dfrac{\pi}{2}\rbrack$ là $\dfrac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.