Đề bài
Lập phương trình chính tắc của Elip biết:
a) Elip đi qua điểm M(2; $\frac{5}{3}$) và có một tiêu điểm $F_{1}$ (-2;0).
b) Elip đi qua hai điểm M(2;-$\sqrt{2}$) và N(−$\sqrt{6}$;1).
Phương pháp giải
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với $a > b > 0$.
a) + Vì elip có một tiêu điểm $F_1(-2; 0)$ nên ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-4$.
+ Vì elip đi qua điểm $M\left( 2;\dfrac{5}{3} \right)$ nên $\dfrac{{{2}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$.
+ Giải hệ hai phương trình hai ẩn thu được, ta tìm được $a^2, b^2$.
b) + Vì elip đi qua M(2; −\(\sqrt{2}\)) nên \(\dfrac{2^2}{a^2} + \dfrac{(-\sqrt{2})^2}{b^2} = 1\).
+ Vì elip đi qua N(−\(\sqrt{6}\);1) nên \(\dfrac{(-\sqrt{6})^2}{a^2} + \dfrac{1^2}{b^2} = 1\).
+ Giải hệ hai phương trình hai ẩn thu được, ta tìm được $a^2, b^2$.
Lời giải chi tiết
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với $a > b > 0$.
a) Vì elip có một tiêu điểm $F_1(-2; 0)$ nên ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{2}^{2}}={{a}^{2}}-4$.
Vì elip đi qua điểm $M\left( 2;\dfrac{5}{3} \right)$ nên $\dfrac{{{2}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{\left( \dfrac{5}{3} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$, suy ra $\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{25}{9{{b}^{2}}}=1$.
Do đó, $\dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{25}{9\left( {{a}^{2}}-4 \right)}=1$
$36{{a}^{2}}-144+25{{a}^{2}}=9{{a}^{4}}-36{{a}^{2}}$
$9{{a}^{4}}-97{{a}^{2}}+144=0$
${{a}^{2}}=\dfrac{16}{9}$ hoặc ${{a}^{2}}=9$
Với ${{a}^{2}}=\dfrac{16}{9}$ thì ${{b}^{2}}=\dfrac{16}{9}-4=\dfrac{-20}{9}$ (loại).
Với ${{a}^{2}}=9$ thì ${{b}^{2}}=9-4=5$ (tm)
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{5}=1$.
b) Vì elip đi qua M(2; −\(\sqrt{2}\)) nên \(\dfrac{2^2}{a^2} + \dfrac{(-\sqrt{2})^2}{b^2} = 1\) nên \( \dfrac{4}{a^2} + \dfrac{2}{b^2} = 1\) (1)
Vì elip đi qua N(−\(\sqrt{6}\);1) nên \(\dfrac{(-\sqrt{6})^2}{a^2} + \dfrac{1^2}{b^2} = 1\) nên \( \dfrac{6}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = 1\) (2)
Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2):
\(\dfrac{4}{a^2} + \dfrac{2}{b^2} - \left(\dfrac{6}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}\right) = 1 - 1\)
\( -\dfrac{2}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = 0\)
\( \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{2}{a^2}\)
Thế vào (1) ta có:
\(\dfrac{4}{a^2} + 2\dfrac{2}{a^2} = 1\)
\( \dfrac{8}{a^2} = 1\)
\(a^2 = 8\)
Do đó, $b^2 = a^2 : 2 = 8 : 2 = 4$ (thỏa mãn)
Vậy phương trình chính tắc của elip là: \(\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{4} = 1\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \ (*)$ với $a > b > 0$.
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng $(*)$ với $a > b > 0$ đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}};\ 0 \right);\ {{F}_{2}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}};\ 0 \right)$, tiêu cự $2c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$ và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng $2a$.