Đề bài
Cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{Z}{5}$, mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+y-z+3=0$ và điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ qua $A$ cắt $d$ và song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình là:
$\dfrac{x - 1}{- 1} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z + 1}{1}$
$\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z + 1}{- 1}$
$\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 2}{2} = \dfrac{z + 1}{1}$
$\dfrac{x - 1}{- 1} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z + 1}{2}$
Phương pháp giải
Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số. Biểu diễn giao điểm M của d và $\Delta$, vectơ $\overset{\rightarrow}{AM}$ theo tham số t
Do $\left. \Delta//(\alpha)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}.\overset{\rightarrow}{n_{(\alpha)}} = 0 \right.$ từ đó tìm được t và vectơ $\overset{\rightarrow}{AM}$
Lời giải chi tiết
Phương trình tham số của d: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + t} \\ {y = 3 + 3t} \\ {z = 2t} \end{array} \right.$
Gọi M là giao điểm của d và $\left. \Delta\Rightarrow M\left( {t + 3;3t + 3;2t} \right)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AM} = \left( {t + 2;3t + 1;2t + 1} \right) \right.$
Đường thẳng $\Delta$có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = \overset{\rightarrow}{AM}$
Do $\left. \Delta//(\alpha)\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}.\overset{\rightarrow}{n_{(\alpha)}} = 0\Leftrightarrow\left( {t + 2;3t + 1;2t + 1} \right).\left( {1;1; - 1} \right) = 0\Leftrightarrow t + 2 + 3t + 1 - \left( {2t + 1} \right) = 0 \right.$
$\left. \Leftrightarrow t = - 1\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AM} = \left( {1; - 2; - 1} \right) \right.$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua A (1;2;-1) và có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{AM} = \left( {1; - 2; - 1} \right)$ có phương trình là: $\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z + 1}{- 1}$