Để giải bài này, chúng ta cần áp dụng các công thức liên quan đến động năng và thế năng trong dao động điều hòa.

Cơ năng W của vật trong dao động điều hòa là tổng của động năng K và thế năng U.

\( W = K + U \)

Ta có công thức tính thế năng: \( U = \frac{1}{2}k x^2 \), với \(x\) là li độ.

Thế năng tại li độ \( x = \frac{A}{2} \) là:

\( U = \frac{1}{2}k \left( \frac{A}{2} \right)^2 = \frac{1}{2}k \cdot \frac{A^2}{4} = \frac{1}{8}kA^2 \)

Thế năng cực đại (khi x = A) là:

\( U_{max} = \frac{1}{2}kA^2 \)

Vậy, cơ năng của vật là

\( W = U_{max} = \frac{1}{2}kA^2 \)

Thế năng tại \( x = \frac{A}{2} \) chiếm \( \frac{1}{8} \) của thế năng cực đại. Vì mốc thế năng được chọn ở vị trí cân bằng của vật, động năng K của vật tại vị trí này là

\( K = W - U = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{8}kA^2 \)

\( = \frac{4}{8}kA^2 - \frac{1}{8}kA^2 \)

\( = \frac{3}{8}kA^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}kA^2 = \frac{3}{4}W \)

So sánh với các phương án ta đã suy ra: Động năng của vật khi vật ở vị trí \( x= \frac{A}{2} \) là \( \frac{4W}{5} \).

Do có sự nhầm lẫn trong phép tính, chúng ta cần quay lại kiểm tra .

Sai lầm đã nằm ở cách viết: \( K = W - U \).

Theo phương án ban đầu cho thấy đáp án đã đưa ra có sự nhầm lẫn. Chúng ta kiểm tra cẩn thận sẽ thấy rằng động năng tại vị trí \( x = \frac{A}{2} \) thì động năng là \( \frac{3}{4}*W \).

Khi giải bài toán này, cần lưu ý:

• Điểm mốc của thế năng thường được chọn là vị trí cân bằng, giúp tính toán dễ hơn.
• Công thức cơ năng: \(W = K + U\) là công thức cơ bản và quan trọng cần nhớ.
• Cần phân biệt rõ giữa phần cơ năng mà động năng và thế năng chiếm tại mỗi vị trí của vật trong quá trình dao động.
• Công thức tổng quát: Động năng tối đa xảy ra khi thế năng tối thiểu (tại vị trí cân bằng) và ngược lại.