Đề bài
Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình minh hoạ). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí $M$ cần tìm tọa độ. Như vậy điểm $M$ là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Ta xét ví một ví dụ cụ thể sau: Cho bốn vệ tinh $A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2;1;3} \right);C\left( {- 1;4;0} \right);D\left( {2;3;1} \right)$. Một chiếc máy bay quân sự đang ở vị trí $M$ với $MA = 3;MB = \sqrt{5};MC = \sqrt{26};MD = \sqrt{5}$.
Phương pháp giải
a) Bán kính bằng MA
b) Viết phưuong trình mặt cầu tâm A, bán kính MA
c) Viết phương trình mặt cầu tâm B, bán kính MB
Phương trình giao tuyến của hai mặt cầu là nghiệm của hệ hai phương trình mặt cầu trên
d) Giải hệ các phương trình độ dài đoạn MA, MB, MC, MD
Lời giải chi tiết
a) Đúng: Mặt cầu tâm A đi qua M có bán kính bằng MA = 3
b) Đúng: Mặt cầu $\left( S_{1} \right)$ tâm A (1;-1;2) và bán kính MA = 3 có phương trình là:
$\left. \left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y + 1} \right)^{2} + \left( {z - 2} \right)^{2} = 3^{2}\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z - 3 = 0 \right.$
c) Đúng: Phương trình mặt cầu $S\left( {B,MB} \right):\left( {x - 2} \right)^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} + \left( {z - 3} \right)^{2} = 5$
$\left. \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y - 6z + 9 = 0 \right.$
Phương trình mặt phẳng giao tuyến là nghiệm của hệ:$\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y - 6z + 9 = 0} \\ {x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z - 3 = 0} \end{array} \right.$
$\left. \Rightarrow - 2x - 4y - 2z + 12 = 0\Leftrightarrow x + 2y + z - 6 = 0 \right.$
d) Sai:
Ta có: $\begin{array}{l} \left. \left\{ \begin{array}{l} {MA^{2} = 9} \\ {MB^{2} = 5} \\ {MC^{2} = 26} \\ {MD^{2} = 5} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y + 1} \right)^{2} + \left( {z - 2} \right)^{2} = 9} \\ {\left( {x - 2} \right)^{2} + \left( {y - 1} \right)^{2} + \left( {z - 3} \right)^{2} = 5} \\ {\left( {x + 1} \right)^{2} + \left( {y - 4} \right)^{2} + z^{2} = 26} \\ {\left( {x - 2} \right)^{2} + \left( {y - 3} \right)^{2} + \left( {z - 1} \right)^{2} = 5} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 3} \\ {y = 1} \\ {z = 1} \end{array} \right.\Rightarrow x + y + z = 5 \right. \\ \end{array}$