Đề bài
là một đồng vị phóng xạ β- chu kì bán rã 5 730 năm. Định tuổi bằng \({}_6^{14}C\)là phương pháp lợi dụng các thuộc tính phóng xạ của \({}_6^{14}C\) nhằm xác định niên đại của các cổ vật có chất liệu hữu cơ. Một cổ vật bằng gỗ được khai quật vào năm 2019 có số hạt nhân \({}_6^{14}C\)bằng k lần số hạt nhân \({}_6^{12}C\). Biết rằng trong một mẫu gỗ tươi cùng loại, số hạt nhân \({}_6^{14}C\) bằng k0 lần số hạt nhân \({}_6^{12}C\)với k = 0,96 k0. Tới năm 2025, tuổi của đĩa gỗ khoảng bao nhiêu năm? (Kết quả được làm tròn tới chữ số thập phân đầu tiên).
Lời giải chi tiết
Để giải quyết vấn đề này, ta áp dụng công thức xác định tuổi cổ vật bằng đồng vị phóng xạ \(^{14}C\). Công thức cơ bản là:
\[ N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \]
Trong đó:
- \(N\): là số hạt nhân \(^{14}C\) còn lại.
- \(N_0\): là số hạt nhân \(^{14}C\) ban đầu.
- \(T_{1/2}\): là chu kỳ bán rã của \(^{14}C\) (5730 năm).
- \(t\): là thời gian trôi qua (cần tìm).
Theo bài, vào năm 2019 số hạt nhân \(^{14}C\) bằng \(0,96k_0\), cho nên:
\[ \frac{N}{N_0} = \frac{k}{k_0} = 0,96 \]
Tới năm 2025, thời gian đã trôi qua thêm 6 năm, nghĩa là:
\[ N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{5730 + t}{5730}} \]
Vậy ta có phương trình:
\[ 0,96 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{5730 + t}{5730}} \]
Lấy logarit hai vế, ta có:
\[ \ln(0,96) = \left(\frac{5730 + t}{5730}\right) \ln\left(\frac{1}{2}\right) \]
Tính toán tìm \(t\):
\[ \frac{5730 + t}{5730} = \frac{\ln(0,96)}{\ln(0,5)} \]
\[ t + 5730 = 5730 \times \frac{\ln(0,96)}{\ln(0,5)} \]
Do đó:
\[ t = 5730 \left(\frac{\ln(0,96)}{\ln(0,5)}\right) - 5730 \]
Tính \(t\) và làm tròn đến đơn vị:
\[ t \approx 236 \]
Vậy đáp án là: 236.
Chú ý khi giải
- Hiểu rõ công thức xác định tuổi cổ vật bằng đồng vị phóng xạ \(^{14}C\).
- Chú ý chu kỳ bán rã là một giá trị không thay đổi và phải được sử dụng chính xác trong các phép tính.
- Kiểm tra đơn vị thời gian để đảm bảo tính đúng thời gian đã trôi qua.
- Làm tròn kết quả cuối cùng đúng theo yêu cầu bài toán.