Đề bài
Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng (xem hình vẽ) được đặt ở vị trí $1\left( {25;30;50} \right)$. Mặt cầu $(S)$ mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng, biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng $R = 5km$.
Phương pháp giải
a) Viết phương trình mặt cầu tâm I(25;30;50) và bán kính bằng 5 km = 5000 m
b) So sánh khoảng cách từ tâm I đến điểm A với bán kính
c) So sánh khoảng cách từ tâm I đến điểm M với bán kính
d) So sánh khoảng cách từ tâm I đến điểm N với bán kính
Lời giải chi tiết
a) Đúng: Mặt cầu (S) có tâm I(25;30;50) và bán kính bằng 5 km = 5000 m có phương trình là: $\left( {x - 25} \right)^{2} + \left( {y - 30} \right)^{2} + \left( {z - 50} \right)^{2} = 5000^{2}$
b) Đúng: Ta có: $\left( {1025 - 25} \right)^{2} + \left( {30 - 30} \right)^{2} + \left( {50 - 50} \right)^{2} = 1000^{2} < 5000^{2}$
c) Đúng: Ta có: $IM = \sqrt{\left( {45 - 25} \right)^{2} + \left( {60 - 30} \right)^{2} + \left( {50 - 50} \right)^{2}} = 10\sqrt{13} < R = 5000$
d) Đúng: Ta có: $IN = \sqrt{\left( {5125 - 25} \right)^{2} + \left( {30 - 30} \right)^{2} + \left( {0 - 50} \right)^{2}} \approx 5100 > R = 5000$