Sử dụng tính chất đường phân giác để biểu diễn vectơ chỉ phương của AD theo vectơ AB và vectơ AC

Do $C$ nằm trên tia $Ox$ nên $C\left( {c;0;0} \right)\left( {c > 0} \right)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $\left. AC\Rightarrow M\left( {\dfrac{c + 1}{2};0;\dfrac{1}{2}} \right) \right.$.

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{BM} = \left( {\dfrac{c + 3}{2}; - 1;\dfrac{1}{2}} \right) \right.$.

Ta có: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 2;1; - 1} \right)} \\ {\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {c - 1;0; - 1} \right)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {AB = \sqrt{6}} \\ {AC = \sqrt{\left( {c - 1} \right)^{2} + 1}} \end{array} \right. \right.$.

Gọi $AD$ là đường phân giác trong góc $A$.

Vectơ chỉ phương của $AD$ là:

$\overset{\rightarrow}{u_{AD}} = \dfrac{1}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AB} + \dfrac{1}{AC} \cdot \overset{\rightarrow}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} \cdot \left( {- 2;1; - 1} \right) + \dfrac{1}{\sqrt{\left( {c - 1} \right)^{2} + 1}} \cdot \left( {c - 1;0; - 1} \right)$

$= \left( {\dfrac{- 2}{\sqrt{6}} + \dfrac{c - 1}{\sqrt{\left( {c - 1} \right)^{2} + 1}};\dfrac{1}{\sqrt{6}};\dfrac{- 1}{\sqrt{6}} - \dfrac{1}{\sqrt{\left( {c - 1} \right)^{2} + 1}}} \right)$.

Do $\left. BM\bot AD\Rightarrow\overset{\rightarrow}{BM} \cdot \overset{\rightarrow}{u_{AD}} = 0 \right.$

$\left. \Rightarrow\left( {\dfrac{- 2}{\sqrt{6}} + \dfrac{c - 1}{\sqrt{\left( {c - 1} \right)^{2} + 1}}} \right) \cdot \dfrac{c + 3}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{6}} \cdot ( - 1) + \left( {\dfrac{- 1}{\sqrt{6}} - \dfrac{1}{\sqrt{\left( {c - 1} \right)^{2} + 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{2} = 0 \right.$

Sử dụng chức năng SOLVE để tìm nghiệm của phương trình trên.

Ta tìm được nghiệm: $c \approx 5,796$.